Номер 634, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 634, страница 109.

Условие.

634. Решите уравнение:

1) $8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6;$

2) $7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x;$

3) $(6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49;$

4) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для произведения $(4x + 3)(4x - 3)$ применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$8x \cdot 3 + 8x \cdot 2x - ((4x)^2 - 3^2) = 9x - 6$
$24x + 16x^2 - (16x^2 - 9) = 9x - 6$
$24x + 16x^2 - 16x^2 + 9 = 9x - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$24x + 9 = 9x - 6$
Перенесем слагаемые, содержащие неизвестную, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:
$24x - 9x = -6 - 9$
$15x = -15$
$x = \frac{-15}{15}$
$x = -1$
Ответ: -1

2) $7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Выражение $(8 - 2x)(8 + 2x)$ является разностью квадратов.
$7x - 4x^2 + 20x = 8^2 - (2x)^2 + 27x$
$7x - 4x^2 + 20x = 64 - 4x^2 + 27x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$27x - 4x^2 = 64 - 4x^2 + 27x$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знак на противоположный:
$27x - 4x^2 - 64 + 4x^2 - 27x = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(27x - 27x) + (-4x^2 + 4x^2) - 64 = 0$
$0 - 64 = 0$
$-64 = 0$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений (корней).
Ответ: корней нет

3) $(6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу разности квадратов.
$(6x)^2 - 7^2 + 12x = 12x \cdot 3x + 12x \cdot 1 - 49$
$36x^2 - 49 + 12x = 36x^2 + 12x - 49$
Соберем все слагаемые в левой части уравнения:
$36x^2 + 12x - 49 - 36x^2 - 12x + 49 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(36x^2 - 36x^2) + (12x - 12x) + (-49 + 49) = 0$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Следовательно, решением уравнения является любое число.
Ответ: x - любое число

4) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$
Упростим левую часть уравнения, последовательно применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
1. $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Уравнение примет вид: $(x^2 - 4)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$.
2. $(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16$.
Уравнение примет вид: $(x^4 - 16)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$.
3. $(x^4 - 16)(x^4 + 16) = (x^4)^2 - 16^2 = x^8 - 256$.
Теперь исходное уравнение выглядит так:
$x^8 - 256 = x^8 + 10x$
Вычтем $x^8$ из обеих частей уравнения:
$-256 = 10x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-256}{10}$
$x = -25.6$
Ответ: -25,6