Номер 633, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 633, страница 109.

Условие.

633. Упростите выражение:

1) $(x+1)(x-1)-(x+5)(x-5)+(x+1)(x-5);$

2) $81a^8 - (3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x + 1)(x - 1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5)$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ для первых двух произведений и правило умножения многочленов (раскрытие скобок) для третьего.

Применим формулу разности квадратов к первым двум членам:
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$
$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

Теперь раскроем скобки в третьем произведении:
$(x + 1)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-5) = x^2 - 5x + x - 5 = x^2 - 4x - 5$

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(x^2 - 1) - (x^2 - 25) + (x^2 - 4x - 5)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки перед ними:
$x^2 - 1 - x^2 + 25 + x^2 - 4x - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2 + x^2) - 4x + (-1 + 25 - 5) = x^2 - 4x + 19$

Ответ: $x^2 - 4x + 19$

2) $81a^8 - (3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)$

Сначала упростим произведение в скобках: $(3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)$. Для этого сгруппируем множители так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Переставим множители для удобства:
$(3a^2 - b^3)(3a^2 + b^3)(9a^4 + b^6)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум скобкам, где $x = 3a^2$ и $y = b^3$:
$(3a^2 - b^3)(3a^2 + b^3) = (3a^2)^2 - (b^3)^2 = 9a^4 - b^6$

Теперь произведение выглядит так:
$(9a^4 - b^6)(9a^4 + b^6)$

Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = 9a^4$ и $y = b^6$:
$(9a^4 - b^6)(9a^4 + b^6) = (9a^4)^2 - (b^6)^2 = 81a^8 - b^{12}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$81a^8 - (81a^8 - b^{12})$

Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех членов внутри на противоположные:
$81a^8 - 81a^8 + b^{12}$

Взаимно уничтожаем $81a^8$ и $-81a^8$:
$0 + b^{12} = b^{12}$

Ответ: $b^{12}$