Номер 637, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 637, страница 109.

Условие.

637. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $ (7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10) $ делится нацело на 12.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что значение выражения $(7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10)$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$, необходимо упростить это выражение.

Мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к обеим частям выражения.

Для первой части, $(7n + 8)(7n - 8)$, получаем:
$(7n + 8)(7n - 8) = (7n)^2 - 8^2 = 49n^2 - 64$.

Для второй части, $(5n + 10)(5n - 10)$, получаем:
$(5n + 10)(5n - 10) = (5n)^2 - 10^2 = 25n^2 - 100$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычитание:
$(49n^2 - 64) - (25n^2 - 100) = 49n^2 - 64 - 25n^2 + 100$.

Приведем подобные слагаемые:
$(49n^2 - 25n^2) + (100 - 64) = 24n^2 + 36$.

Чтобы показать, что полученное выражение $24n^2 + 36$ делится на 12, вынесем общий множитель 12 за скобки:
$24n^2 + 36 = 12 \cdot 2n^2 + 12 \cdot 3 = 12(2n^2 + 3)$.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $n^2$ также является натуральным числом. Это означает, что выражение в скобках, $2n^2 + 3$, всегда будет целым числом. Так как исходное выражение можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 12, то всё выражение делится нацело на 12.

Ответ: Выражение $(7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10)$ тождественно равно $12(2n^2 + 3)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(2n^2 + 3)$ — целое число. Следовательно, произведение $12(2n^2 + 3)$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.