Номер 631, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 631, страница 109.

Условие.

631. Выполните умножение двучленов (n - натуральное число):

1) $(a^n - 4)(a^n + 4)$;

2) $(b^{2n} + c^{3n})(b^{2n} - c^{3n})$;

3) $(x^{4n} + y^{n+2})(y^{n+2} - x^{4n})$;

4) $(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1})$, $n > 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x = a^n$ и $y = 4$. Применив формулу, получаем: $(a^n - 4)(a^n + 4) = (a^n)^2 - 4^2$. Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем $(a^n)^2 = a^{2n}$. Также $4^2 = 16$. Следовательно, итоговое выражение равно $a^{2n} - 16$.
Ответ: $a^{2n} - 16$.

2) Это выражение также представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Используем ту же формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = b^{2n}$ и $y = c^{3n}$. Подставляем в формулу: $(b^{2n} + c^{3n})(b^{2n} - c^{3n}) = (b^{2n})^2 - (c^{3n})^2$. По свойству степени $(a^m)^k = a^{mk}$ имеем: $(b^{2n})^2 = b^{2n \cdot 2} = b^{4n}$ и $(c^{3n})^2 = c^{3n \cdot 2} = c^{6n}$. Результат умножения: $b^{4n} - c^{6n}$.
Ответ: $b^{4n} - c^{6n}$.

3) В выражении $(x^{4n} + y^{n+2})(y^{n+2} - x^{4n})$ поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы было удобнее применить формулу (от перемены мест слагаемых сумма не меняется): $(y^{n+2} + x^{4n})(y^{n+2} - x^{4n})$. Это снова формула разности квадратов, где в качестве первого слагаемого выступает $y^{n+2}$, а в качестве второго — $x^{4n}$. Применяем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$: $(y^{n+2})^2 - (x^{4n})^2$. Упрощаем, используя свойство степеней: $(y^{n+2})^2 = y^{(n+2) \cdot 2} = y^{2n+4}$ и $(x^{4n})^2 = x^{4n \cdot 2} = x^{8n}$. Итоговое выражение: $y^{2n+4} - x^{8n}$.
Ответ: $y^{2n+4} - x^{8n}$.

4) Выражение $(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1})$ также является произведением разности и суммы. Применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = a^{n+1}$ и $y = b^{n-1}$. Подставляем в формулу: $(a^{n+1})^2 - (b^{n-1})^2$. Упрощаем степени: $(a^{n+1})^2 = a^{(n+1) \cdot 2} = a^{2n+2}$ и $(b^{n-1})^2 = b^{(n-1) \cdot 2} = b^{2n-2}$. Условие $n > 1$ гарантирует, что показатель степени $n-1$ является натуральным числом. Результат: $a^{2n+2} - b^{2n-2}$.
Ответ: $a^{2n+2} - b^{2n-2}$.