Номер 632, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 632, страница 109.

Условие.

632. Упростите выражение:

1) $ (8a - 3)(8a + 3) - (7a + 4)(8a - 4); $

2) $ 0,6m(2m - 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 - 5m); $

3) $ (7 - 2x)(7 + 2x) - (x - 8)(x + 8) - (4 - 3x)(5 + 3x); $

4) $ -b^2c(4b - c^2)(4b + c^2) + 16b^4c. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(8a - 3)(8a + 3) - (7a + 4)(8a - 4)$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для первого произведения и правило умножения многочленов для второго.
1. Упростим произведение $(8a - 3)(8a + 3)$. Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(8a - 3)(8a + 3) = (8a)^2 - 3^2 = 64a^2 - 9$.
2. Раскроем скобки во втором произведении $(7a + 4)(8a - 4)$:
$(7a + 4)(8a - 4) = 7a \cdot 8a + 7a \cdot (-4) + 4 \cdot 8a + 4 \cdot (-4) = 56a^2 - 28a + 32a - 16 = 56a^2 + 4a - 16$.
3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(64a^2 - 9) - (56a^2 + 4a - 16) = 64a^2 - 9 - 56a^2 - 4a + 16$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(64a^2 - 56a^2) - 4a + (16 - 9) = 8a^2 - 4a + 7$.

Ответ: $8a^2 - 4a + 7$.

2) $0,6m(2m - 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 - 5m)$

В обоих слагаемых применим формулу разности квадратов.
1. Упростим первое слагаемое $0,6m(2m - 1)(2m + 1)$:
$(2m - 1)(2m + 1) = (2m)^2 - 1^2 = 4m^2 - 1$.
$0,6m(4m^2 - 1) = 0,6m \cdot 4m^2 - 0,6m \cdot 1 = 2,4m^3 - 0,6m$.
2. Упростим второе слагаемое $0,3(6 + 5m)(6 - 5m)$:
$(6 + 5m)(6 - 5m) = 6^2 - (5m)^2 = 36 - 25m^2$.
$0,3(36 - 25m^2) = 0,3 \cdot 36 - 0,3 \cdot 25m^2 = 10,8 - 7,5m^2$.
3. Сложим полученные выражения:
$(2,4m^3 - 0,6m) + (10,8 - 7,5m^2) = 2,4m^3 - 7,5m^2 - 0,6m + 10,8$.

Ответ: $2,4m^3 - 7,5m^2 - 0,6m + 10,8$.

3) $(7 - 2x)(7 + 2x) - (x - 8)(x + 8) - (4 - 3x)(5 + 3x)$

Упростим каждое произведение по отдельности.
1. Для $(7 - 2x)(7 + 2x)$ используем формулу разности квадратов:
$(7 - 2x)(7 + 2x) = 7^2 - (2x)^2 = 49 - 4x^2$.
2. Для $(x - 8)(x + 8)$ также используем формулу разности квадратов:
$(x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$.
3. Для $(4 - 3x)(5 + 3x)$ раскроем скобки:
$(4 - 3x)(5 + 3x) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3x - 3x \cdot 5 - 3x \cdot 3x = 20 + 12x - 15x - 9x^2 = 20 - 3x - 9x^2$.
4. Подставим все в исходное выражение, учитывая знаки:
$(49 - 4x^2) - (x^2 - 64) - (20 - 3x - 9x^2) = 49 - 4x^2 - x^2 + 64 - 20 + 3x + 9x^2$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(-4x^2 - x^2 + 9x^2) + 3x + (49 + 64 - 20) = 4x^2 + 3x + 93$.

Ответ: $4x^2 + 3x + 93$.

4) $-b^2c(4b - c^2)(4b + c^2) + 16b^4c$

1. Сначала упростим произведение $(4b - c^2)(4b + c^2)$ по формуле разности квадратов:
$(4b - c^2)(4b + c^2) = (4b)^2 - (c^2)^2 = 16b^2 - c^4$.
2. Теперь умножим результат на $-b^2c$:
$-b^2c(16b^2 - c^4) = -b^2c \cdot 16b^2 - b^2c \cdot (-c^4) = -16b^{2+2}c + b^2c^{1+4} = -16b^4c + b^2c^5$.
3. Подставим полученное выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:
$(-16b^4c + b^2c^5) + 16b^4c = -16b^4c + 16b^4c + b^2c^5 = b^2c^5$.

Ответ: $b^2c^5$.