Номер 638, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 638, страница 109.

Условие.

638. Докажите, что не существует такого натурального числа $n$, при котором значение выражения $(4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2)$ делится нацело на 8.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Доказательство

Чтобы доказать утверждение, сперва упростим данное алгебраическое выражение. Для этого раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2)$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(4n + 3)(9n - 4) = 4n \cdot 9n + 4n \cdot (-4) + 3 \cdot 9n + 3 \cdot (-4) = 36n^2 - 16n + 27n - 12 = 36n^2 + 11n - 12$.

2. Второе слагаемое представляет собой произведение вида $(a-b)(a+b)$, которое раскроем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2$:
$(6n - 5)(6n + 5) = (6n)^2 - 5^2 = 36n^2 - 25$.

3. Раскроем скобки в последнем члене:
$-3(n - 2) = -3n + 6$.

4. Теперь объединим все части и выполним упрощение:
$(36n^2 + 11n - 12) - (36n^2 - 25) + (-3n + 6) = 36n^2 + 11n - 12 - 36n^2 + 25 - 3n + 6$.

Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(36n^2 - 36n^2) + (11n - 3n) + (-12 + 25 + 6) = 0 \cdot n^2 + 8n + 19 = 8n + 19$.

Итак, значение исходного выражения для любого натурального $n$ равно значению выражения $8n + 19$.

Теперь необходимо проверить, делится ли выражение $8n + 19$ на 8.

Выражение $8n + 19$ можно представить в виде $8n + 16 + 3$. Вынесем общий множитель 8 за скобки у первых двух слагаемых:
$8n + 16 + 3 = 8(n + 2) + 3$.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $(n+2)$ также является натуральным числом. Это означает, что слагаемое $8(n+2)$ всегда делится на 8 без остатка.

Следовательно, остаток от деления всего выражения $8(n+2) + 3$ на 8 определяется остатком от деления числа 3 на 8. Этот остаток равен 3.

Поскольку остаток от деления значения выражения на 8 всегда равен 3, а не 0, то данное выражение не делится на 8 нацело ни при каком натуральном значении $n$.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $8n + 19$. Это число можно представить как $8(n+2) + 3$. Так как $n$ — натуральное число, $8(n+2)$ делится на 8 нацело, а значит, все выражение при делении на 8 дает остаток 3. Следовательно, оно не может делиться на 8 нацело.