Номер 641, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 641, страница 110.

Условие.

641. Чему равно значение выражения:

1) $81^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$;

2) $5^{24} - (5^3 - 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $81^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу ко второй части выражения: $(6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$.

Здесь $a = 6^{30}$ и $b = 1$.

$(6^{30} + 1)(6^{30} - 1) = (6^{30})^2 - 1^2 = 6^{30 \cdot 2} - 1 = 6^{60} - 1$.

Теперь преобразуем первую часть выражения: $81^{15} \cdot 8^{20}$.

Представим основания степеней 81 и 8 в виде степеней простых чисел:

$81 = 3^4$

$8 = 2^3$

Подставим эти значения в выражение:

$81^{15} \cdot 8^{20} = (3^4)^{15} \cdot (2^3)^{20}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(3^4)^{15} = 3^{4 \cdot 15} = 3^{60}$

$(2^3)^{20} = 2^{3 \cdot 20} = 2^{60}$

Таким образом, $81^{15} \cdot 8^{20} = 3^{60} \cdot 2^{60}$.

По свойству степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ имеем:

$3^{60} \cdot 2^{60} = (3 \cdot 2)^{60} = 6^{60}$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$6^{60} - (6^{60} - 1) = 6^{60} - 6^{60} + 1 = 1$.

Ответ: 1

2) $5^{24} - (5^3 - 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$

Для упрощения произведения в скобках будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Шаг 1. Умножим первые две скобки:

$(5^3 - 2)(5^3 + 2) = (5^3)^2 - 2^2 = 5^6 - 4$.

Шаг 2. Подставим результат в выражение и умножим следующие две скобки:

$(5^6 - 4)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$

$(5^6 - 4)(5^6 + 4) = (5^6)^2 - 4^2 = 5^{12} - 16$.

Шаг 3. Подставим результат и умножим оставшиеся скобки:

$(5^{12} - 16)(5^{12} + 16)$

$(5^{12} - 16)(5^{12} + 16) = (5^{12})^2 - 16^2 = 5^{24} - 256$.

Шаг 4. Теперь подставим результат всего произведения в исходное выражение:

$5^{24} - (5^{24} - 256)$

Раскроем скобки:

$5^{24} - 5^{24} + 256 = 256$.

Ответ: 256