Номер 615, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 615, страница 107.

Условие.

615. Является ли тождеством равенство:

1) $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2;$

2) $(m + n)(m - n) = m^2 + n^2;$

3) $(x + y)(y - x) = y^2 - x^2;$

4) $(p - q)(p + q) = (p - q)^2?$

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы проверить, является ли равенство $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$ тождеством, необходимо преобразовать его левую часть. Выражение в левой части представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применив эту формулу, получаем:
$(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.
Результат преобразования левой части полностью совпадает с правой частью равенства. Так как равенство верно при любых значениях переменных $b$ и $c$, оно является тождеством.
Ответ: да, является.

2) Рассмотрим равенство $(m + n)(m - n) = m^2 + n^2$. Снова преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $m^2 - n^2$ и $m^2 + n^2$. Эти выражения не тождественны, так как они равны только в случае, если $n^2 = -n^2$, что выполняется лишь при $n=0$. Для всех остальных значений $n$ равенство неверно. Например, при $m=3$ и $n=1$:
Левая часть: $(3 + 1)(3 - 1) = 4 \cdot 2 = 8$.
Правая часть: $3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$.
Поскольку $8 \neq 10$, данное равенство не является тождеством.
Ответ: нет, не является.

3) Проверим равенство $(x + y)(y - x) = y^2 - x^2$. Преобразуем левую часть. Заметим, что $(x+y)$ можно записать как $(y+x)$. Тогда выражение примет вид: $(y + x)(y - x)$.
Это снова формула разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a=y$ и $b=x$.
$(y + x)(y - x) = y^2 - x^2$.
Левая часть после преобразования стала идентична правой части равенства. Следовательно, это тождество.
Ответ: да, является.

4) Рассмотрим равенство $(p - q)(p + q) = (p - q)^2$. Преобразуем обе части равенства по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.
Левая часть (разность квадратов):
$(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$.
Правая часть (квадрат разности):
$(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Теперь сравним полученные выражения: $p^2 - q^2$ и $p^2 - 2pq + q^2$. Они не равны. Чтобы убедиться в этом, подставим произвольные значения, например, $p=2$ и $q=1$:
Левая часть: $2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.
Правая часть: $2^2 - 2(2)(1) + 1^2 = 4 - 4 + 1 = 1$.
Так как $3 \neq 1$, равенство не выполняется для всех значений переменных, а значит, не является тождеством.
Ответ: нет, не является.