Номер 698, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 698, страница 122.

Условие.

698. Упростите выражение:

1) $a^2 + (3a - b)^2;$

2) $(4x + 5)^2 - 40x;$

3) $50a^2 - (7a - 1)^2;$

4) $c^2 + 36 - (c - 6)^2;$

5) $(x - 2)^2 + x(x + 10);$

6) $3m(m - 4) - (m + 2)^2;$

7) $(y - 9)^2 + (4 - y)(y + 6);$

8) $(x - 4)(x + 4) - (x - 1)^2;$

9) $(2a - 3b)^2 + (3a + 2b)^2;$

10) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x + 7).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^2 + (3a - b)^2$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(3a - b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$a^2 + (9a^2 - 6ab + b^2) = a^2 + 9a^2 - 6ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые, сложив коэффициенты при $a^2$:

$ (1+9)a^2 - 6ab + b^2 = 10a^2 - 6ab + b^2$

Ответ: $10a^2 - 6ab + b^2$

2) $(4x + 5)^2 - 40x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(4x + 5)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 16x^2 + 40x + 25$

Подставим это в исходное выражение:

$(16x^2 + 40x + 25) - 40x$

Приведем подобные слагаемые:

$16x^2 + (40x - 40x) + 25 = 16x^2 + 25$

Ответ: $16x^2 + 25$

3) $50a^2 - (7a - 1)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(7a - 1)^2 = (7a)^2 - 2 \cdot 7a \cdot 1 + 1^2 = 49a^2 - 14a + 1$

Подставим в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:

$50a^2 - (49a^2 - 14a + 1) = 50a^2 - 49a^2 + 14a - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(50-49)a^2 + 14a - 1 = a^2 + 14a - 1$

Ответ: $a^2 + 14a - 1$

4) $c^2 + 36 - (c - 6)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(c - 6)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2 = c^2 - 12c + 36$

Подставим в исходное выражение и раскроем скобки с учетом знака минус:

$c^2 + 36 - (c^2 - 12c + 36) = c^2 + 36 - c^2 + 12c - 36$

Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 - c^2) + 12c + (36 - 36) = 0 + 12c + 0 = 12c$

Ответ: $12c$

5) $(x - 2)^2 + x(x + 10)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности и вторую, умножив $x$ на каждый член в скобке:

$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

$x(x + 10) = x \cdot x + x \cdot 10 = x^2 + 10x$

Сложим полученные выражения:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 10x) = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2) + (-4x + 10x) + 4 = 2x^2 + 6x + 4$

Ответ: $2x^2 + 6x + 4$

6) $3m(m - 4) - (m + 2)^2$

Раскроем скобки. Первую — умножением, вторую — по формуле квадрата суммы:

$3m(m - 4) = 3m^2 - 12m$

$(m + 2)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 + 4m + 4$

Подставим в исходное выражение:

$(3m^2 - 12m) - (m^2 + 4m + 4) = 3m^2 - 12m - m^2 - 4m - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(3m^2 - m^2) + (-12m - 4m) - 4 = 2m^2 - 16m - 4$

Ответ: $2m^2 - 16m - 4$

7) $(y - 9)^2 + (4 - y)(y + 6)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности, а вторые две перемножим:

$(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$

$(4 - y)(y + 6) = 4y + 24 - y^2 - 6y = -y^2 - 2y + 24$

Сложим полученные выражения:

$(y^2 - 18y + 81) + (-y^2 - 2y + 24) = y^2 - 18y + 81 - y^2 - 2y + 24$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (-18y - 2y) + (81 + 24) = -20y + 105$

Ответ: $105 - 20y$

8) $(x - 4)(x + 4) - (x - 1)^2$

Первое произведение раскроем по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Вторую скобку — по формуле квадрата разности.

$(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

Подставим в исходное выражение:

$(x^2 - 16) - (x^2 - 2x + 1) = x^2 - 16 - x^2 + 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 2x + (-16 - 1) = 2x - 17$

Ответ: $2x - 17$

9) $(2a - 3b)^2 + (3a + 2b)^2$

Раскроем обе скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$

$(3a + 2b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2b + (2b)^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2$

Сложим полученные выражения:

$(4a^2 - 12ab + 9b^2) + (9a^2 + 12ab + 4b^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 9a^2) + (-12ab + 12ab) + (9b^2 + 4b^2) = 13a^2 + 0 + 13b^2 = 13a^2 + 13b^2$

Ответ: $13a^2 + 13b^2$

10) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x + 7)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности, а второе произведение — по формуле разности квадратов:

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

$(x - 7)(x + 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$

Подставим в исходное выражение:

$(x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 49) = x^2 - 10x + 25 - x^2 + 49$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 10x + (25 + 49) = -10x + 74$

Ответ: $74 - 10x$