Номер 702, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 702, страница 122.

Условие.

702. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(* + b)^2 = * + 4ab + b^2;$

2) $(4x - *)^2 = 16x^2 - * + 100y^2;$

3) $(* - 5c)^2 = * - 20b^2c + 25c^2;$

4) $(7a^2 + *)^2 = * + * + 9b^6.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходное тождество: $(* + b)^2 = * + 4ab + b^2$.

Для решения используется формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сравнивая правую часть данного тождества $* + 4ab + b^2$ с общей формулой, мы можем определить компоненты. Слагаемое $b^2$ соответствует $y^2$, следовательно, $y = b$.

Средний член $4ab$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Таким образом, $2xy = 4ab$.

Подставляем известное значение $y=b$ в это равенство: $2xb = 4ab$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $2b$: $x = \frac{4ab}{2b} = 2a$.

Итак, первая звездочка (в левой части) — это одночлен $2a$. Выражение в скобках принимает вид $(2a + b)$.

Теперь, чтобы найти вторую звездочку (в правой части), возведем в квадрат полученное выражение: $(2a+b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$.

Сравнивая результат с выражением $* + 4ab + b^2$, мы видим, что вторая звездочка соответствует $4a^2$.

Итоговое тождество: $(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$.

Ответ: первая звездочка — $2a$, вторая звездочка — $4a^2$.

2) Исходное тождество: $(4x - *)^2 = 16x^2 - * + 100y^2$.

Для решения используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части тождества уменьшаемое равно $4x$. Его квадрат, $(4x)^2 = 16x^2$, совпадает с первым членом в правой части.

Последний член в правой части, $100y^2$, является квадратом вычитаемого, то есть $y^2 = 100y^2$.

Отсюда находим вычитаемое $y$: $y = \sqrt{100y^2} = 10y$.

Следовательно, первая звездочка (в левой части) — это $10y$. Выражение в скобках: $(4x - 10y)$.

Вторая звездочка (в правой части) — это удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого: $2xy = 2 \cdot 4x \cdot 10y = 80xy$.

Итоговое тождество: $(4x - 10y)^2 = 16x^2 - 80xy + 100y^2$.

Ответ: первая звездочка — $10y$, вторая звездочка — $80xy$.

3) Исходное тождество: $(* - 5c)^2 = * - 20b^2c + 25c^2$.

Снова используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части вычитаемое равно $5c$. Проверяем его квадрат в правой части: $(5c)^2 = 25c^2$. Это совпадает с последним членом.

Средний член в правой части, $-20b^2c$, соответствует $-2xy$. Значит, $-2xy = -20b^2c$.

Подставляем известное значение $y=5c$: $-2x(5c) = -20b^2c$, что упрощается до $-10xc = -20b^2c$.

Находим уменьшаемое $x$: $x = \frac{-20b^2c}{-10c} = 2b^2$.

Таким образом, первая звездочка (в левой части) — это $2b^2$. Выражение в скобках: $(2b^2 - 5c)$.

Вторая звездочка (первый член в правой части) — это квадрат уменьшаемого $x^2$: $x^2 = (2b^2)^2 = 4b^4$.

Итоговое тождество: $(2b^2 - 5c)^2 = 4b^4 - 20b^2c + 25c^2$.

Ответ: первая звездочка — $2b^2$, вторая звездочка — $4b^4$.

4) Исходное тождество: $(7a^2 + *)^2 = * + * + 9b^6$.

Применяем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В левой части первое слагаемое $x = 7a^2$.

В правой части последний член $9b^6$ является квадратом второго слагаемого: $y^2 = 9b^6$.

Находим второе слагаемое $y$: $y = \sqrt{9b^6} = 3b^3$.

Следовательно, первая звездочка (в левой части) — это $3b^3$. Выражение в скобках: $(7a^2 + 3b^3)$.

Теперь раскроем скобки, чтобы найти недостающие члены в правой части: $(7a^2 + 3b^3)^2 = (7a^2)^2 + 2 \cdot 7a^2 \cdot 3b^3 + (3b^3)^2 = 49a^4 + 42a^2b^3 + 9b^6$.

Сравнивая результат с правой частью $* + * + 9b^6$, находим:

• вторая звездочка (первый член) равна $49a^4$;
• третья звездочка (средний член) равна $42a^2b^3$.

Итоговое тождество: $(7a^2 + 3b^3)^2 = 49a^4 + 42a^2b^3 + 9b^6$.

Ответ: первая звездочка — $3b^3$, вторая звездочка — $49a^4$, третья звездочка — $42a^2b^3$.