Номер 701, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 701, страница 122.

Условие.

701. Решите уравнение:

1) $(x + 9)^2 - x(x + 8) = 1;$

2) $(x - 11)^2 = (x - 7)(x - 9);$

3) $(x - 4)(x + 4) - (x + 6)^2 = -16;$

4) $(1 - 3x)^2 - x(9x - 2) = 5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x+9)^2 - x(x+8) = 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) - (x \cdot x + x \cdot 8) = 1$

$x^2 + 18x + 81 - x^2 - 8x = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (18x - 8x) + 81 = 1$

$10x + 81 = 1$

Перенесем 81 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$10x = 1 - 81$

$10x = -80$

Найдем $x$:

$x = \frac{-80}{10}$

$x = -8$

Ответ: $-8$

2) $(x-11)^2 = (x-7)(x-9)$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и правило умножения многочленов:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2 = x \cdot x - 9x - 7x + (-7)(-9)$

$x^2 - 22x + 121 = x^2 - 16x + 63$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-22x + 121 = -16x + 63$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$121 - 63 = -16x + 22x$

$58 = 6x$

Найдем $x$:

$x = \frac{58}{6}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$

Ответ: $9\frac{2}{3}$

3) $(x-4)(x+4) - (x+6)^2 = -16$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 - 4^2) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) = -16$

$(x^2 - 16) - (x^2 + 12x + 36) = -16$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$x^2 - 16 - x^2 - 12x - 36 = -16$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 12x - (16 + 36) = -16$

$-12x - 52 = -16$

Перенесем $-52$ в правую часть с противоположным знаком:

$-12x = -16 + 52$

$-12x = 36$

Найдем $x$:

$x = \frac{36}{-12}$

$x = -3$

Ответ: $-3$

4) $(1-3x)^2 - x(9x-2) = 5$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и распределительный закон:

$(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2) - (x \cdot 9x - x \cdot 2) = 5$

$(1 - 6x + 9x^2) - (9x^2 - 2x) = 5$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$1 - 6x + 9x^2 - 9x^2 + 2x = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (-6x + 2x) + 1 = 5$

$-4x + 1 = 5$

Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:

$-4x = 5 - 1$

$-4x = 4$

Найдем $x$:

$x = \frac{4}{-4}$

$x = -1$

Ответ: $-1$