Номер 703, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 703, страница 122.

Условие.

703. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(*+6b)^2 = *+24ab+*;

2) $(*-*)^2 = 9m^4-42m^2n^8+*.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходное тождество: $(* + 6b)^2 = * + 24ab + *$.

Данное выражение основано на формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В левой части тождества имеем выражение $(_1^* + 6b)^2$, где $_1^*$ — первый неизвестный одночлен. В правой части $_2^* + 24ab + _3^*$, где $_2^*$ и $_3^*$ — второй и третий неизвестные одночлены.

Сравним удвоенное произведение из формулы, $2xy$, с известным средним членом в правой части тождества, $24ab$.

Пусть $x = _1^*$ и $y = 6b$. Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot _1^* \cdot 6b = 12b \cdot _1^*$.

Приравниваем это выражение к известному члену: $12b \cdot _1^* = 24ab$.

Из этого уравнения находим первый неизвестный одночлен $_1^*$: $_1^* = \frac{24ab}{12b} = 2a$.

Теперь, зная оба слагаемых в скобках, $(2a + 6b)$, мы можем найти остальные неизвестные одночлены.

Первый член в правой части, $_2^*$, равен квадрату первого слагаемого: $_2^* = (2a)^2 = 4a^2$.

Третий член в правой части, $_3^*$, равен квадрату второго слагаемого: $_3^* = (6b)^2 = 36b^2$.

Подставляем найденные одночлены в исходное выражение, чтобы получить тождество:

$(2a + 6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

Ответ: $(2a + 6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

2) Исходное тождество: $(* - *)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + *$.

Данное выражение основано на формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части тождества имеем выражение $(_1^* - _2^*)^2$. В правой части $9m^4 - 42m^2n^8 + _3^*$.

Сравним правую часть с развернутой формулой $x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $x^2$ соответствует $9m^4$. Отсюда находим первый одночлен в скобках, $x = _1^*$: $x = \sqrt{9m^4} = 3m^2$.

Итак, $_1^* = 3m^2$.

Средний член $-2xy$ соответствует $-42m^2n^8$. Подставив найденное значение $x=3m^2$, найдем $y = _2^*$.

$-2 \cdot (3m^2) \cdot y = -42m^2n^8$

$-6m^2y = -42m^2n^8$

Отсюда находим второй одночлен в скобках, $y = _2^*$: $y = \frac{-42m^2n^8}{-6m^2} = 7n^8$.

Итак, $_2^* = 7n^8$.

Теперь мы знаем оба члена в скобках: $(3m^2 - 7n^8)$.

Осталось найти последний неизвестный член в правой части, $_3^*$. Он соответствует $y^2$.

$_3^* = y^2 = (7n^8)^2 = 49n^{16}$.

Подставляем найденные одночлены в исходное выражение, чтобы получить тождество:

$(3m^2 - 7n^8)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + 49n^{16}$.

Ответ: $(3m^2 - 7n^8)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + 49n^{16}$.