Номер 704, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 704, страница 122.

Условие.

704. Докажите тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества $(a-b)^2 = (b-a)^2$ можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Способ 1: Преобразование обеих частей тождества с помощью формулы квадрата разности

Формула квадрата разности имеет вид: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

1. Преобразуем левую часть равенства:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

2. Преобразуем правую часть равенства, применяя ту же формулу:
$(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$

3. Сравним полученные выражения: $a^2 - 2ab + b^2$ и $b^2 - 2ba + a^2$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не изменяется (коммутативность сложения), то $b^2 + a^2 = a^2 + b^2$.
Так как от перемены мест множителей произведение не изменяется (коммутативность умножения), то $2ba = 2ab$.
Следовательно, выражение $b^2 - 2ba + a^2$ можно переписать как $a^2 - 2ab + b^2$.

Поскольку обе части тождества равны одному и тому же выражению, они равны между собой. Тождество доказано.

Способ 2: Алгебраическое преобразование одной части в другую

Преобразуем правую часть тождества $(b-a)^2$, чтобы она стала идентична левой части.

1. В выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобку $-1$:
$b-a = -1 \cdot a - (-1) \cdot b = -1 \cdot (a-b) = -(a-b)$

2. Подставим полученное выражение обратно в правую часть тождества:
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2$

3. Воспользуемся свойством степени, гласящим, что $(-x)^2 = x^2$ (квадрат любого числа равен квадрату противоположного ему числа):
$(-(a-b))^2 = (a-b)^2$

Мы преобразовали правую часть равенства к виду левой части, доказав тем самым, что $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

Ответ: Тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$ доказано. Это равенство справедливо, так как выражения $a-b$ и $b-a$ являются противоположными числами, а квадраты противоположных чисел всегда равны. При раскрытии скобок обе части тождества приводятся к одному и тому же многочлену стандартного вида $a^2 - 2ab + b^2$.