Номер 708, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 708, страница 123.

Условие.

708. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $6(1-2c)^2$;

2) $-12\left(x+\frac{1}{3}y\right)^2$;

3) $a(a-6b)^2$;

4) $5b(b^2+7b)^2$;

5) $(a+3)(a-4)^2$;

6) $(2x+4)^2(x-8)$;

7) $(a-5)^2(a+5)^2$;

8) $(3x+4y)^2(3x-4y)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $6(1-2c)^2$
Для преобразования данного выражения в многочлен, сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Применим ее к выражению в скобках: $(1-2c)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2 = 1 - 4c + 4c^2$.
Теперь умножим полученный трехчлен на множитель 6, стоящий перед скобкой:
$6(1 - 4c + 4c^2) = 6 \cdot 1 - 6 \cdot 4c + 6 \cdot 4c^2 = 6 - 24c + 24c^2$.
Запишем итоговый многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной c): $24c^2 - 24c + 6$.
Ответ: $24c^2 - 24c + 6$.

2) $-12(x+\frac{1}{3}y)^2$
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x+\frac{1}{3}y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3}y + (\frac{1}{3}y)^2 = x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2$.
Затем умножим каждый член полученного многочлена на -12:
$-12(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2) = -12 \cdot x^2 - 12 \cdot \frac{2}{3}xy - 12 \cdot \frac{1}{9}y^2$.
Выполним умножение коэффициентов:
$-12x^2 - \frac{12 \cdot 2}{3}xy - \frac{12}{9}y^2 = -12x^2 - 4 \cdot 2xy - \frac{4}{3}y^2 = -12x^2 - 8xy - \frac{4}{3}y^2$.
Ответ: $-12x^2 - 8xy - \frac{4}{3}y^2$.

3) $a(a-6b)^2$
Первым шагом раскроем квадрат разности $(a-6b)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a-6b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 6b + (6b)^2 = a^2 - 12ab + 36b^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $a$:
$a(a^2 - 12ab + 36b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot 12ab + a \cdot 36b^2 = a^3 - 12a^2b + 36ab^2$.
Ответ: $a^3 - 12a^2b + 36ab^2$.

4) $5b(b^2+7b)^2$
Сначала раскроем квадрат суммы $(b^2+7b)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(b^2+7b)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 7b + (7b)^2 = b^4 + 14b^3 + 49b^2$.
Далее, умножим полученный многочлен на одночлен $5b$:
$5b(b^4 + 14b^3 + 49b^2) = 5b \cdot b^4 + 5b \cdot 14b^3 + 5b \cdot 49b^2 = 5b^5 + 70b^4 + 245b^3$.
Ответ: $5b^5 + 70b^4 + 245b^3$.

5) $(a+3)(a-4)^2$
Первым делом возведем в квадрат двучлен $(a-4)$:
$(a-4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$.
Теперь необходимо умножить двучлен $(a+3)$ на полученный трехчлен $(a^2 - 8a + 16)$. Сделаем это поэтапно:
$(a+3)(a^2 - 8a + 16) = a(a^2 - 8a + 16) + 3(a^2 - 8a + 16) = a^3 - 8a^2 + 16a + 3a^2 - 24a + 48$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-8a^2 + 3a^2) + (16a - 24a) + 48 = a^3 - 5a^2 - 8a + 48$.
Ответ: $a^3 - 5a^2 - 8a + 48$.

6) $(2x+4)^2(x-8)$
Сначала возведем в квадрат двучлен $(2x+4)$:
$(2x+4)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 4 + 4^2 = 4x^2 + 16x + 16$.
Теперь умножим полученный трехчлен $(4x^2 + 16x + 16)$ на двучлен $(x-8)$:
$(4x^2 + 16x + 16)(x-8) = x(4x^2 + 16x + 16) - 8(4x^2 + 16x + 16) = 4x^3 + 16x^2 + 16x - 32x^2 - 128x - 128$.
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$4x^3 + (16x^2 - 32x^2) + (16x - 128x) - 128 = 4x^3 - 16x^2 - 112x - 128$.
Ответ: $4x^3 - 16x^2 - 112x - 128$.

7) $(a-5)^2(a+5)^2$
Для решения этого примера удобно использовать свойство степеней $(xy)^n = x^n y^n$ в обратном порядке: $x^n y^n = (xy)^n$.
$(a-5)^2(a+5)^2 = ((a-5)(a+5))^2$.
Выражение в скобках представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
$(a-5)(a+5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$.
Осталось возвести полученный результат в квадрат, используя формулу квадрата разности:
$(a^2 - 25)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 - 50a^2 + 625$.
Ответ: $a^4 - 50a^2 + 625$.

8) $(3x+4y)^2(3x-4y)^2$
Этот пример решается аналогично предыдущему. Применим свойство $a^n b^n = (ab)^n$:
$(3x+4y)^2(3x-4y)^2 = ((3x+4y)(3x-4y))^2$.
Выражение в скобках преобразуем по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(3x+4y)(3x-4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$.
Теперь возведем полученный двучлен в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(9x^2 - 16y^2)^2 = (9x^2)^2 - 2 \cdot (9x^2) \cdot (16y^2) + (16y^2)^2 = 81x^4 - 288x^2y^2 + 256y^4$.
Ответ: $81x^4 - 288x^2y^2 + 256y^4$.