Номер 750, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 750, страница 130.

Условие.

750. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 8b)^2;$

2) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2;$

3) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (ab + 4)^2;$

4) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 2b)^2?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы определить, какое из предложенных равенств является тождеством, необходимо проверить, совпадает ли левая часть с правой.

Во всех вариантах левая часть одинакова: $a^2 + 8ab + 16b^2$. Это выражение можно попытаться свернуть в полный квадрат, используя формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

В нашем случае $x^2 = a^2$, значит $x=a$. Третий член $16b^2 = (4b)^2$, значит $y=4b$. Проверим средний член (удвоенное произведение): $2xy = 2 \cdot a \cdot (4b) = 8ab$. Он совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2$.

Теперь проверим каждое из предложенных равенств.

1) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 8b)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства, используя формулу квадрата суммы:

$(a + 8b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (8b) + (8b)^2 = a^2 + 16ab + 64b^2$.

Сравнивая с левой частью, видим, что $a^2 + 8ab + 16b^2 \neq a^2 + 16ab + 64b^2$. Следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.

2) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(a + 4b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (4b) + (4b)^2 = a^2 + 8ab + 16b^2$.

Правая часть полностью совпадает с левой частью. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

3) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (ab + 4)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(ab + 4)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot (ab) \cdot 4 + 4^2 = a^2b^2 + 8ab + 16$.

Сравнивая с левой частью, видим, что $a^2 + 8ab + 16b^2 \neq a^2b^2 + 8ab + 16$. Следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.

4) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 2b)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

Сравнивая с левой частью, видим, что $a^2 + 8ab + 16b^2 \neq a^2 + 4ab + 4b^2$. Следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.