Номер 754, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 754, страница 130.

Условие.

754. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $b^2 - 2b + 1;$

2) $4 + 4n + n^2;$

3) $x^2 - 14x + 49;$

4) $4a^2 + 4ab + b^2;$

5) $9x^2 - 24xy + 16y^2;$

6) $a^6 - 2a^3 + 1;$

7) $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10};$

8) $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить трёхчлен $b^2 - 2b + 1$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В нашем выражении первый член $a^2 = b^2$, откуда $a = b$. Третий член $1$ можно представить как $1^2$, откуда $b = 1$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов со знаком минус. $-2 \cdot b \cdot 1 = -2b$. Так как все условия выполняются, получаем: $b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$.

Ответ: $(b-1)^2$

2) Чтобы представить трёхчлен $4 + 4n + n^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. В нашем выражении первый член $a^2 = 4$, откуда $a = 2$. Третий член $b^2 = n^2$, откуда $b = n$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов. $2 \cdot 2 \cdot n = 4n$. Так как все условия выполняются, получаем: $4 + 4n + n^2 = (2+n)^2$.

Ответ: $(2+n)^2$

3) Чтобы представить трёхчлен $x^2 - 14x + 49$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В данном выражении $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Третий член $49 = 7^2$, значит $b = 7$. Проверим средний член: $-2 \cdot x \cdot 7 = -14x$. Все условия выполняются, следовательно: $x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2$.

Ответ: $(x-7)^2$

4) Чтобы представить трёхчлен $4a^2 + 4ab + b^2$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$. Здесь первый член $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $x = 2a$. Третий член $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим средний член: $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$. Все условия выполняются, следовательно: $4a^2 + 4ab + b^2 = (2a+b)^2$.

Ответ: $(2a+b)^2$

5) Чтобы представить трёхчлен $9x^2 - 24xy + 16y^2$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Здесь $a^2 = 9x^2 = (3x)^2$, значит $a = 3x$. Третий член $b^2 = 16y^2 = (4y)^2$, значит $b = 4y$. Проверим средний член: $-2 \cdot (3x) \cdot (4y) = -24xy$. Все условия выполняются, следовательно: $9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x-4y)^2$.

Ответ: $(3x-4y)^2$

6) Чтобы представить трёхчлен $a^6 - 2a^3 + 1$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$. Здесь первый член $x^2 = a^6 = (a^3)^2$, значит $x = a^3$. Третий член $y^2 = 1 = 1^2$, значит $y = 1$. Проверим средний член: $-2 \cdot a^3 \cdot 1 = -2a^3$. Все условия выполняются, следовательно: $a^6 - 2a^3 + 1 = (a^3-1)^2$.

Ответ: $(a^3-1)^2$

7) Чтобы представить трёхчлен $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10}$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$. Здесь первый член $x^2 = 36a^6 = (6a^3)^2$, значит $x = 6a^3$. Третий член $y^2 = 49b^{10} = (7b^5)^2$, значит $y = 7b^5$. Проверим средний член: $-2 \cdot (6a^3) \cdot (7b^5) = -84a^3b^5$. Все условия выполняются, следовательно: $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10} = (6a^3 - 7b^5)^2$.

Ответ: $(6a^3 - 7b^5)^2$

8) Чтобы представить трёхчлен $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Здесь первый член $a^2 = 81x^4y^8 = (9x^2y^4)^2$, значит $a = 9x^2y^4$. Третий член $b^2 = 4z^{12} = (2z^6)^2$, значит $b = 2z^6$. Проверим средний член: $-2 \cdot (9x^2y^4) \cdot (2z^6) = -36x^2y^4z^6$. Все условия выполняются, следовательно: $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12} = (9x^2y^4 - 2z^6)^2$.

Ответ: $(9x^2y^4 - 2z^6)^2$