Номер 761, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 761, страница 131.

Условие.

761. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) $(4a + 3b)^2 – 8b(4a + b)$;

2) $(10x + 3y)^2 – (8x + 4y)(8x – 4y)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $(4a+3b)^2 - 8b(4a+b)$ в виде квадрата двучлена, сначала упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Сначала раскроем первую скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(4a+3b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3b + (3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2$.

Теперь раскроем вторую часть выражения, умножив $-8b$ на многочлен в скобках:

$-8b(4a+b) = -8b \cdot 4a - 8b \cdot b = -32ab - 8b^2$.

Объединим полученные результаты:

$(16a^2 + 24ab + 9b^2) + (-32ab - 8b^2) = 16a^2 + 24ab + 9b^2 - 32ab - 8b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$16a^2 + (24ab - 32ab) + (9b^2 - 8b^2) = 16a^2 - 8ab + b^2$.

Полученное выражение $16a^2 - 8ab + b^2$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Здесь $x^2 = 16a^2 \Rightarrow x=4a$, $y^2 = b^2 \Rightarrow y=b$, а удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot 4a \cdot b = 8ab$, что соответствует нашему выражению.

Следовательно, $16a^2 - 8ab + b^2 = (4a-b)^2$.

Ответ: $(4a-b)^2$.

2) Чтобы представить выражение $(10x+3y)^2 - (8x+4y)(8x-4y)$ в виде квадрата двучлена, также начнем с упрощения.

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(10x+3y)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot 10x \cdot 3y + (3y)^2 = 100x^2 + 60xy + 9y^2$.

Вторую часть выражения $(8x+4y)(8x-4y)$ раскроем по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$(8x+4y)(8x-4y) = (8x)^2 - (4y)^2 = 64x^2 - 16y^2$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(100x^2 + 60xy + 9y^2) - (64x^2 - 16y^2) = 100x^2 + 60xy + 9y^2 - 64x^2 + 16y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(100x^2 - 64x^2) + 60xy + (9y^2 + 16y^2) = 36x^2 + 60xy + 25y^2$.

Полученный трехчлен $36x^2 + 60xy + 25y^2$ является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Здесь $a^2 = 36x^2 \Rightarrow a=6x$, $b^2 = 25y^2 \Rightarrow b=5y$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 6x \cdot 5y = 60xy$, что соответствует нашему выражению.

Следовательно, $36x^2 + 60xy + 25y^2 = (6x+5y)^2$.

Ответ: $(6x+5y)^2$.