Номер 765, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 765, страница 131.

Условие.

765. Какое число надо прибавить к многочлену $81a^2b^2 - 36ab + 9$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы выражение было тождественно равно квадрату двучлена, оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ или $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
Рассмотрим исходный многочлен $81a^2b^2 - 36ab + 9$. Обозначим число, которое нужно прибавить, через $k$. Получим выражение $81a^2b^2 - 36ab + 9 + k$.
Поскольку в выражении присутствует член $-36ab$ со знаком "минус", мы будем приводить его к виду $(x-y)^2$.
В формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ сопоставим члены с нашим выражением:
Первый член $x^2$ должен соответствовать $81a^2b^2$. Отсюда:
$x^2 = (9ab)^2 \implies x = 9ab$.
Средний член $-2xy$ должен соответствовать $-36ab$. Подставим найденное значение $x$:
$-2 \cdot (9ab) \cdot y = -36ab$
$-18ab \cdot y = -36ab$
Отсюда находим $y$:
$y = \frac{-36ab}{-18ab} = 2$.
Теперь мы можем определить, каким должен быть третий член $y^2$ в формуле полного квадрата:
$y^2 = 2^2 = 4$.
Значит, итоговое выражение должно иметь вид $(9ab - 2)^2 = 81a^2b^2 - 36ab + 4$.
В нашем выражении $81a^2b^2 - 36ab + 9 + k$ постоянная часть равна $9+k$. Эта часть должна быть равна 4:
$9 + k = 4$
$k = 4 - 9$
$k = -5$
Таким образом, к исходному многочлену необходимо прибавить число -5.

Ответ: -5