Номер 760, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 760, страница 131.

Условие.

760. Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен:

1) $-a^4 - 0.8a^6 - 0.16a^8;$

2) $121m^2 - 44mn + 16n^2;$

3) $-a^6 + 4a^3b - 4b^2;$

4) $\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12};$

5) $80xy + 16x^2 + 25y^2;$

6) $b^{10} - \frac{1}{3}b^5c + \frac{1}{9}c^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы представить трёхчлен $-a^4 - 0,8a^6 - 0,16a^8$ в виде, противоположном квадрату двучлена, вынесем за скобки $-1$ и расположим слагаемые в порядке убывания степени переменной $a$:
$-a^4 - 0,8a^6 - 0,16a^8 = -(0,16a^8 + 0,8a^6 + a^4)$.
Проверим, является ли выражение в скобках полным квадратом суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x^2 = 0,16a^8 = (0,4a^4)^2$, значит $x = 0,4a^4$.
$y^2 = a^4 = (a^2)^2$, значит $y = a^2$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot (0,4a^4) \cdot (a^2) = 0,8a^6$.
Средний член трёхчлена в скобках совпадает с удвоенным произведением, следовательно, выражение является полным квадратом.
$0,16a^8 + 0,8a^6 + a^4 = (0,4a^4 + a^2)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(0,4a^4 + a^2)^2$.
Ответ: $-(0,4a^4 + a^2)^2$.

2) Рассмотрим трёхчлен $121m^2 - 44mn + 16n^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член: $a^2 = 121m^2 = (11m)^2$, значит $a = 11m$.
Третий член: $b^2 = 16n^2 = (4n)^2$, значит $b = 4n$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену $-44mn$.
$2ab = 2 \cdot (11m) \cdot (4n) = 88mn$.
Поскольку $88mn \ne 44mn$, данный трёхчлен не является полным квадратом двучлена.
Ответ: Представить в виде квадрата двучлена невозможно.

3) Для того чтобы представить трёхчлен $-a^6 + 4a^3b - 4b^2$ в виде, противоположном квадрату двучлена, вынесем за скобки $-1$:
$-a^6 + 4a^3b - 4b^2 = -(a^6 - 4a^3b + 4b^2)$.
Проверим, является ли выражение в скобках полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x^2 = a^6 = (a^3)^2$, значит $x = a^3$.
$y^2 = 4b^2 = (2b)^2$, значит $y = 2b$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a^3 \cdot (2b) = 4a^3b$.
Средний член трёхчлена в скобках совпадает с удвоенным произведением, следовательно, выражение является полным квадратом.
$a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3 - 2b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(a^3 - 2b)^2$.
Ответ: $-(a^3 - 2b)^2$.

4) Рассмотрим трёхчлен $\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12}$. Попробуем представить его в виде квадрата разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член: $x^2 = \frac{25}{49}a^8 = (\frac{5}{7}a^4)^2$, значит $x = \frac{5}{7}a^4$.
Третий член: $y^2 = 49b^{12} = (7b^6)^2$, значит $y = 7b^6$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot (\frac{5}{7}a^4) \cdot (7b^6) = 2 \cdot 5a^4b^6 = 10a^4b^6$.
Средний член трёхчлена совпадает с удвоенным произведением, следовательно, выражение является полным квадратом.
$\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12} = (\frac{5}{7}a^4 - 7b^6)^2$.
Ответ: $(\frac{5}{7}a^4 - 7b^6)^2$.

5) Рассмотрим трёхчлен $80xy + 16x^2 + 25y^2$. Переставим слагаемые для удобства: $16x^2 + 80xy + 25y^2$. Попробуем представить его в виде квадрата суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Первый член: $a^2 = 16x^2 = (4x)^2$, значит $a = 4x$.
Третий член: $b^2 = 25y^2 = (5y)^2$, значит $b = 5y$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену $80xy$.
$2ab = 2 \cdot (4x) \cdot (5y) = 40xy$.
Поскольку $40xy \ne 80xy$, данный трёхчлен не является полным квадратом двучлена.
Ответ: Представить в виде квадрата двучлена невозможно.

6) Рассмотрим трёхчлен $b^{10} - \frac{1}{3}b^5c + \frac{1}{9}c^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член: $a^2 = b^{10} = (b^5)^2$, значит $a = b^5$.
Третий член: $b^2 = \frac{1}{9}c^2 = (\frac{1}{3}c)^2$, значит $b = \frac{1}{3}c$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену $\frac{1}{3}b^5c$.
$2ab = 2 \cdot b^5 \cdot (\frac{1}{3}c) = \frac{2}{3}b^5c$.
Поскольку $\frac{2}{3}b^5c \ne \frac{1}{3}b^5c$, данный трёхчлен не является полным квадратом двучлена.
Ответ: Представить в виде квадрата двучлена невозможно.