Номер 757, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 757, страница 130.

Условие.

757. Какой одночлен следует подставить вместо звёздочки, чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражения:

1) $*-56a+49;$

2) $9c^2-12c+*;$

3) $*-42xy+49y^2;$

4) $0,01b^2+*+100c^2;$

5) $a^2b^2-4a^3b^5+*;$

6) $1,44x^2y^4- * +0,25y^6;$

7) $64-80y^{20}+*;$

8) $\frac{9}{25}a^6b^2-a^5b^5+*?;$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

В каждом пункте мы будем определять, какие члены из формулы нам известны, и находить недостающий член.

1) * - 56a + 49

Данное выражение похоже на формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2$. В этом выражении мы можем опознать квадрат второго члена $y^2 = 49$, откуда $y=7$. Удвоенное произведение первого и второго членов равно $-2xy = -56a$. Подставим известное значение $y=7$: $-2 \cdot x \cdot 7 = -56a$, что упрощается до $-14x = -56a$. Найдем первый член $x$: $x = \frac{-56a}{-14} = 4a$. Недостающий одночлен, обозначенный звездочкой, это квадрат первого члена $x^2$. $* = x^2 = (4a)^2 = 16a^2$. Проверка: $16a^2 - 56a + 49 = (4a)^2 - 2 \cdot (4a) \cdot 7 + 7^2 = (4a - 7)^2$.
Ответ: $16a^2$.

2) 9c² - 12c + *

Это выражение также соответствует формуле квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2$. Здесь известен квадрат первого члена $x^2 = 9c^2$, значит $x=3c$. Удвоенное произведение равно $-2xy = -12c$. Подставим $x=3c$: $-2 \cdot (3c) \cdot y = -12c$, или $-6cy = -12c$. Найдем второй член $y$: $y = \frac{-12c}{-6c} = 2$. Недостающий одночлен — это квадрат второго члена $y^2$. $* = y^2 = 2^2 = 4$. Проверка: $9c^2 - 12c + 4 = (3c)^2 - 2 \cdot (3c) \cdot 2 + 2^2 = (3c - 2)^2$.
Ответ: $4$.

3) * - 42xy + 49y²

Выражение имеет вид $a^2 - 2ab + b^2$. Известен квадрат второго члена $b^2 = 49y^2$, откуда $b=7y$. Удвоенное произведение $-2ab = -42xy$. Подставим $b=7y$: $-2 \cdot a \cdot (7y) = -42xy$, или $-14ay = -42xy$. Найдем первый член $a$: $a = \frac{-42xy}{-14y} = 3x$. Искомый одночлен — это квадрат первого члена $a^2$. $* = a^2 = (3x)^2 = 9x^2$. Проверка: $9x^2 - 42xy + 49y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (7y) + (7y)^2 = (3x - 7y)^2$.
Ответ: $9x^2$.

4) 0,01b² + * + 100c²

Это выражение может быть как квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, так и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Известны квадраты первого и второго членов: $x^2 = 0,01b^2$, откуда $x=0,1b$, и $y^2=100c^2$, откуда $y=10c$. Недостающий член — это удвоенное произведение $2xy$ (или $-2xy$). Найдем его: $2xy = 2 \cdot (0,1b) \cdot (10c) = 2bc$. Таким образом, вместо звездочки можно подставить как $2bc$, так и $-2bc$. Если $*=2bc$, получим $(0,1b + 10c)^2$. Если $*=-2bc$, получим $(0,1b - 10c)^2$.
Ответ: $\pm2bc$.

5) a²b² - 4a³b⁵ + *

Предположим, что выражение имеет вид $x^2 - 2xy + y^2$. Пусть $x^2 = a^2b^2$, тогда $x=ab$. Средний член $-2xy = -4a^3b^5$. Подставим $x=ab$: $-2 \cdot (ab) \cdot y = -4a^3b^5$. Найдем $y$: $y = \frac{-4a^3b^5}{-2ab} = 2a^2b^4$. Искомый одночлен — это $y^2$. $* = y^2 = (2a^2b^4)^2 = 4a^4b^8$. Проверка: $a^2b^2 - 4a^3b^5 + 4a^4b^8 = (ab)^2 - 2 \cdot (ab) \cdot (2a^2b^4) + (2a^2b^4)^2 = (ab - 2a^2b^4)^2$.
Ответ: $4a^4b^8$.

6) 1,44x²y⁴ - * + 0,25y⁶

Выражение имеет вид $a^2 - 2ab + b^2$. Звездочка скрывает положительный одночлен $2ab$. Определим $a$ и $b$ из известных квадратов: $a^2 = 1,44x^2y^4 \implies a = \sqrt{1,44}x^{2/2}y^{4/2} = 1,2xy^2$. $b^2 = 0,25y^6 \implies b = \sqrt{0,25}y^{6/2} = 0,5y^3$. Теперь найдем удвоенное произведение $2ab$: $* = 2ab = 2 \cdot (1,2xy^2) \cdot (0,5y^3) = (2 \cdot 1,2 \cdot 0,5) \cdot x \cdot y^2 \cdot y^3 = 1,2xy^5$. Проверка: $1,44x^2y^4 - 1,2xy^5 + 0,25y^6 = (1,2xy^2 - 0,5y^3)^2$.
Ответ: $1,2xy^5$.

7) 64 - 80y²⁰ + *

Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $a^2 = 64$, значит $a=8$. Средний член $-2ab = -80y^{20}$. Подставим $a=8$: $-2 \cdot 8 \cdot b = -80y^{20}$, или $-16b = -80y^{20}$. Найдем $b$: $b = \frac{-80y^{20}}{-16} = 5y^{20}$. Недостающий одночлен — это $b^2$. $* = b^2 = (5y^{20})^2 = 25y^{40}$. Проверка: $64 - 80y^{20} + 25y^{40} = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot (5y^{20}) + (5y^{20})^2 = (8 - 5y^{20})^2$.
Ответ: $25y^{40}$.

8) $\frac{9}{25}a^6b^2 - a^5b^5 + *$

Это выражение соответствует формуле $x^2 - 2xy + y^2$. Первый член $x^2 = \frac{9}{25}a^6b^2$, откуда $x = \sqrt{\frac{9}{25}}a^{6/2}b^{2/2} = \frac{3}{5}a^3b$. Средний член $-2xy = -a^5b^5$. Подставим $x$: $-2 \cdot (\frac{3}{5}a^3b) \cdot y = -a^5b^5$, или $-\frac{6}{5}a^3by = -a^5b^5$. Найдем $y$: $y = \frac{-a^5b^5}{-\frac{6}{5}a^3b} = \frac{5}{6}a^{5-3}b^{5-1} = \frac{5}{6}a^2b^4$. Искомый одночлен — это $y^2$. $* = y^2 = (\frac{5}{6}a^2b^4)^2 = \frac{25}{36}a^4b^8$. Проверка: $\frac{9}{25}a^6b^2 - a^5b^5 + \frac{25}{36}a^4b^8 = (\frac{3}{5}a^3b - \frac{5}{6}a^2b^4)^2$.
Ответ: $\frac{25}{36}a^4b^8$.