Номер 758, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 758, страница 131.

Условие.

758. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выполнялось тождество:

1) $n^2 + 60n + * = (* + 30)^2;$

2) $25c^2 - * + * = (* - 8k)^2;$

3) $225a^2 - * + 64b^4 = (* - *)^2;$

4) $0,04x^2 + * + * = (* + 0,3y^3)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Данное тождество $n^2 + 60n + * = (* + 30)^2$ основано на формуле квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Раскроем скобки в правой части тождества, используя эту формулу: $(* + 30)^2 = (*)^2 + 2 \cdot * \cdot 30 + 30^2 = (*)^2 + 60 \cdot * + 900$. Теперь сравним полученное выражение с левой частью тождества: $n^2 + 60n + * = (*)^2 + 60 \cdot * + 900$. Сравнивая первые члены, видим, что $n^2$ должно быть равно $(*)^2$, значит, звёздочка в скобках — это одночлен $n$. Сравнивая вторые члены, $60n$ и $60 \cdot *$, мы подтверждаем, что звёздочка в скобках — это $n$. Сравнивая третьи члены, мы видим, что звёздочка в левой части тождества должна быть равна $900$.
Ответ: $n^2+60n+900=(n+30)^2$

2) Для решения тождества $25c^2 - * + * = (* - 8k)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В правой части нам известен второй член $b=8k$. В левой части нам известен первый член $a^2=25c^2$. Из $a^2=25c^2$ находим $a=\sqrt{25c^2}=5c$. Этот одночлен заменяет звёздочку в скобках в правой части. Теперь, зная $a=5c$ и $b=8k$, мы можем найти недостающие члены в левой части: Первая звёздочка — это удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 5c \cdot 8k = 80ck$. Вторая звёздочка — это квадрат второго члена: $b^2 = (8k)^2 = 64k^2$.
Ответ: $25c^2 - 80ck + 64k^2 = (5c - 8k)^2$

3) В тождестве $225a^2 - * + 64b^4 = (* - *)^2$ применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Левая часть представляет собой полный квадрат. Мы можем определить первый и второй члены из их квадратов: $a^2 = 225a^2 \Rightarrow a = \sqrt{225a^2} = 15a$. $b^2 = 64b^4 \Rightarrow b = \sqrt{64b^4} = 8b^2$. Эти два одночлена, $15a$ и $8b^2$, заменяют звёздочки в скобках в правой части. Звёздочка в левой части — это удвоенное произведение $2ab$: $* = 2 \cdot 15a \cdot 8b^2 = 240ab^2$.
Ответ: $225a^2 - 240ab^2 + 64b^4 = (15a - 8b^2)^2$

4) Для тождества $0.04x^2 + * + * = (* + 0.3y^3)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В правой части нам известен второй член $b=0.3y^3$. В левой части нам известен первый член $a^2=0.04x^2$. Из $a^2=0.04x^2$ находим $a=\sqrt{0.04x^2}=0.2x$. Этот одночлен заменяет звёздочку в скобках. Теперь, зная $a=0.2x$ и $b=0.3y^3$, мы можем найти недостающие члены в левой части: Первая звёздочка — это удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0.2x \cdot 0.3y^3 = 0.12xy^3$. Вторая звёздочка — это квадрат второго члена: $b^2 = (0.3y^3)^2 = 0.09y^6$.
Ответ: $0.04x^2 + 0.12xy^3 + 0.09y^6 = (0.2x + 0.3y^3)^2$