Страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

876. Значения переменных $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства $x + y = 6, xy = -3$. Найдите значение выражения:

1) $x^3y^2 + x^2y^3$;

2) $(x - y)^2$;

3) $x^4 + y^4$.

1) $x^3y^2 + x^2y^3$
Для решения данного выражения вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$:
$x^3y^2 + x^2y^3 = x^2y^2(x + y)$
Выражение $x^2y^2$ можно представить в виде $(xy)^2$. Таким образом, получаем:
$(xy)^2(x + y)$
Теперь подставим в полученное выражение исходные данные из условия задачи: $x+y=6$ и $xy=-3$.
$(-3)^2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$
Ответ: 54

2) $(x-y)^2$
Для нахождения значения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности, а также известной нам формулой квадрата суммы.
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
Мы не знаем значение $x^2+y^2$, но можем его выразить из формулы квадрата суммы:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \implies x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
Подставим это выражение в нашу формулу для квадрата разности:
$(x-y)^2 = ((x+y)^2 - 2xy) - 2xy = (x+y)^2 - 4xy$
Теперь подставим известные значения $x+y=6$ и $xy=-3$:
$6^2 - 4 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48$
Ответ: 48

3) $x^4+y^4$
Представим данное выражение в виде суммы квадратов:
$x^4+y^4 = (x^2)^2+(y^2)^2$
Воспользуемся формулой $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:
$(x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2$
Из предыдущего пункта мы знаем, как найти $x^2+y^2$:
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2 \cdot (-3) = 36 + 6 = 42$
Теперь подставим все известные и вычисленные значения в итоговое выражение:
$(42)^2 - 2 \cdot (-3)^2 = 1764 - 2 \cdot 9 = 1764 - 18 = 1746$
Ответ: 1746

877. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(2n-1)^3 - 4n^2 + 2n + 1$ делится нацело на 16.

Для доказательства того, что значение выражения $(2n - 1)^3 - 4n^2 + 2n + 1$ делится нацело на 16 при любом натуральном $n$, мы сначала упростим это выражение.

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для раскрытия скобок:

$(2n - 1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 4n^2 + 2n + 1 = 8n^3 - 12n^2 - 4n^2 + 6n + 2n - 1 + 1 = 8n^3 - 16n^2 + 8n$

Разложим полученный многочлен на множители. Сначала вынесем за скобки общий множитель $8n$:

$8n^3 - 16n^2 + 8n = 8n(n^2 - 2n + 1)$

Заметим, что выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности $(n-1)^2$:

$8n(n^2 - 2n + 1) = 8n(n-1)^2$

Теперь задача сводится к доказательству того, что выражение $8n(n-1)^2$ делится на 16. Для этого необходимо показать, что произведение $n(n-1)^2$ является четным числом, то есть делится на 2.

Рассмотрим два возможных случая для натурального числа $n$.

Случай 1: $n$ — четное число.
Если $n$ четно, то оно само является множителем в произведении $n(n-1)^2$. Произведение любого числа на четное число является четным. Следовательно, $n(n-1)^2$ — четное.

Случай 2: $n$ — нечетное число.
Если $n$ нечетно, то число $n-1$ будет четным. Тогда его квадрат, $(n-1)^2$, также будет четным (более того, он будет делиться на 4). Произведение $n(n-1)^2$ будет содержать четный множитель $(n-1)^2$, а значит, само произведение будет четным.

Итак, в обоих случаях произведение $n(n-1)^2$ является четным числом. Это означает, что его можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Тогда исходное выражение равно:

$8n(n-1)^2 = 8 \cdot (2k) = 16k$

Выражение $16k$ по определению делится нацело на 16. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ значение данного выражения делится нацело на 16.

878. Разложите на множители:

1) $x^4 - 5x^2 + 4;$

2) $x^4 + x^2 + 1;$

3) $4x^4 - 12x^2 + 1;$

4) $x^5 + x + 1;$

5) $x^4 + 4;$

6) $x^8 + x^4 - 2.$

1) Это биквадратное выражение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид:

$y^2 - 5y + 4$

Это квадратный трехчлен, который можно разложить на множители, найдя его корни или сгруппировав слагаемые. Разложим средний член $-5y$ на $-y - 4y$:

$y^2 - y - 4y + 4$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^2 - y) - (4y - 4) = y(y - 1) - 4(y - 1)$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$:

$(y - 1)(y - 4)$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Оба множителя являются разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

2) Для разложения этого многочлена используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $x^2$, чтобы получить формулу квадрата суммы.

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^2 + 1)^2$. Получаем:

$(x^2 + 1)^2 - x^2$

Теперь мы имеем разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$

Раскроем внутренние скобки и упорядочим члены многочленов:

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

3) Этот многочлен также можно разложить на множители методом выделения полного квадрата. Представим $4x^4$ как $(2x^2)^2$. Чтобы получить полный квадрат, нам нужен член, который вместе с $4x^4$ и $+1$ образует квадрат двучлена, а оставшееся выражение было бы квадратом. Попробуем создать квадрат суммы $(2x^2+1)^2=4x^4+4x^2+1$.

Представим исходное выражение в виде:

$4x^4 - 12x^2 + 1 = (4x^4 + 4x^2 + 1) - 4x^2 - 12x^2 = (4x^4 + 4x^2 + 1) - 16x^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(2x^2 + 1)^2$, а $16x^2$ является полным квадратом $(4x)^2$. Получаем:

$(2x^2 + 1)^2 - (4x)^2$

Это разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 2x^2 + 1$ и $b = 4x$. Применим формулу:

$((2x^2 + 1) - 4x)((2x^2 + 1) + 4x)$

Упорядочим члены в каждом множителе:

$(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$

4) Для разложения этого многочлена используем искусственный прием: добавим и вычтем $x^2$.

$x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$

В первой группе вынесем за скобки $x^2$:

$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$

Применим к выражению $x^3 - 1$ формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Подставим это обратно в наше выражение:

$x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) + 1 \cdot (x^2 + x + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 + x + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 + x + 1)[x^2(x - 1) + 1]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$x^2(x - 1) + 1 = x^3 - x^2 + 1$

Таким образом, итоговое разложение:

$(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

Ответ: $(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

5) Для разложения этого выражения (известного как тождество Софи Жермен) используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $4x^2$.

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат:

$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

Мы получили разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 2$ и $b = 2x$. Применим формулу:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$

Упорядочим члены в каждом множителе:

$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

6) Это выражение похоже на биквадратное. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$.

$y^2 + y - 2$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма равна $1$. Это числа $2$ и $-1$.

$y^2 + y - 2 = (y + 2)(y - 1)$

Вернемся к переменной $x$, подставив $y = x^4$:

$(x^4 + 2)(x^4 - 1)$

Второй множитель, $x^4 - 1$, является разностью квадратов:

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

Множитель $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Таким образом, $x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Первый множитель, $x^4 + 2$, не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.

Собираем все множители вместе:

$(x^4 + 2)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

Для удобства записи, расположим множители по возрастанию степени:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

879. Представьте в виде произведения выражения:

1) $x^4 + 5x^2 + 9;$

2) $x^4 - 8x^2 + 4.$

1) Чтобы представить выражение $x^4 + 5x^2 + 9$ в виде произведения, воспользуемся методом выделения полного квадрата.
Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$ и $9 = 3^2$. Для получения полного квадрата $(x^2+3)^2$ нам необходимо удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot 3 = 6x^2$.
В нашем выражении средний член равен $5x^2$. Представим его как $6x^2 - x^2$:
$x^4 + 5x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 - x^2 + 9$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:
$(x^4 + 6x^2 + 9) - x^2$
Выражение в скобках является полным квадратом суммы:
$(x^2 + 3)^2 - x^2$
Теперь мы получили разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 3$ и $b = x$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x^2 + 3) - x)((x^2 + 3) + x)$
Упорядочим слагаемые в каждом множителе по убыванию степеней $x$:
$(x^2 - x + 3)(x^2 + x + 3)$
Полученные квадратные трехчлены не имеют действительных корней (их дискриминанты отрицательны), поэтому дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.
Ответ: $(x^2 - x + 3)(x^2 + x + 3)$

2) Разложим на множители выражение $x^4 - 8x^2 + 4$.
Аналогично предыдущему пункту, применим метод выделения полного квадрата.
Первый член $x^4 = (x^2)^2$, последний член $4 = 2^2$. Полный квадрат может иметь вид $(x^2 - 2)^2 = x^4 - 4x^2 + 4$.
Чтобы получить $-4x^2$ из исходного $-8x^2$, представим $-8x^2$ как $-4x^2 - 4x^2$:
$x^4 - 8x^2 + 4 = x^4 - 4x^2 - 4x^2 + 4$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x^2 - 2)^2$. Заметим также, что $4x^2 = (2x)^2$:
$(x^2 - 2)^2 - (2x)^2$
Мы получили разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = x^2 - 2$ и $b = 2x$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x^2 - 2) - 2x)((x^2 - 2) + 2x)$
Упорядочим члены в многочленах:
$(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$
Ответ: $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

880. Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения $n^4 + n^2 + 1$ является составным числом.

Чтобы доказать, что выражение $n^4 + n^2 + 1$ является составным числом при любом натуральном $n > 1$, необходимо показать, что его можно разложить на два целочисленных множителя, каждый из которых больше 1.

Преобразуем данное выражение, выделив полный квадрат. Для этого добавим и вычтем $n^2$:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(n^2 + 1)^2$. Тогда выражение принимает вид:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = n^2 + 1$ и $b = n$:

$(n^2 + 1)^2 - n^2 = (n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя: $(n^2 - n + 1)$ и $(n^2 + n + 1)$. Теперь необходимо доказать, что при $n > 1$ (то есть при натуральных $n \ge 2$) оба этих множителя являются целыми числами, большими 1.

Рассмотрим первый множитель: $n^2 - n + 1$. Поскольку $n$ — натуральное число, большее 1, то $n \ge 2$. При $n=2$ множитель равен $2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$. Так как $3 > 1$, и функция $f(n) = n^2 - n + 1 = n(n-1) + 1$ возрастает при $n \ge 1$, то для всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет больше или равно 3. Следовательно, первый множитель всегда является целым числом больше 1.

Рассмотрим второй множитель: $n^2 + n + 1$. Поскольку $n \ge 2$, все слагаемые являются положительными целыми числами. При $n=2$ множитель равен $2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$. Так как $7 > 1$, и значение выражения очевидно возрастает для положительных $n$, то для всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет больше или равно 7. Следовательно, второй множитель также всегда является целым числом больше 1.

Мы представили выражение $n^4 + n^2 + 1$ как произведение двух целых чисел, $(n^2 - n + 1)$ и $(n^2 + n + 1)$, каждое из которых при $n > 1$ строго больше 1. По определению, такое число является составным. Доказательство завершено.

Ответ: Выражение $n^4+n^2+1$ раскладывается на множители $(n^2-n+1)(n^2+n+1)$. При натуральном $n>1$ оба множителя являются целыми числами, большими 1, следовательно, значение выражения является составным числом.

881. Компания сотовой связи предложила на выбор одну из трёх скидок: скидку 20% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, скидку 15% на звонки в другие регионы, скидку 25% на услуги мобильного Интернета. Просмотрев распечатку своих звонков, клиент обнаружил, что, не применяя скидки, он потратил 400 р. на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 800 р. на звонки в другие регионы и 300 р. на услуги мобильного Интернета. Предполагая, что и в дальнейшем клиент будет использовать услуги сотовой связи в тех же объёмах, определите, какую скидку ему выгодно выбрать.

Для того чтобы определить, какая из скидок наиболее выгодна для клиента, необходимо рассчитать, какую сумму он сэкономит в каждом из трёх случаев. Выбор следует остановить на том варианте, который обеспечивает максимальную экономию.

Скидка 20% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе

Клиент тратит на этот вид услуг 400 рублей. Размер скидки в денежном выражении составит:

Экономия = $400 \cdot \frac{20}{100} = 400 \cdot 0.20 = 80$ рублей.

Скидка 15% на звонки в другие регионы

На звонки в другие регионы клиент тратит 800 рублей. Рассчитаем экономию при выборе этой скидки:

Экономия = $800 \cdot \frac{15}{100} = 800 \cdot 0.15 = 120$ рублей.

Скидка 25% на услуги мобильного Интернета

Стоимость услуг мобильного интернета составляет 300 рублей. Экономия при скидке 25% будет равна:

Экономия = $300 \cdot \frac{25}{100} = 300 \cdot 0.25 = 75$ рублей.

Теперь сравним полученные размеры экономии: 80 рублей, 120 рублей и 75 рублей. Наибольшая экономия достигается при выборе второй скидки, так как $120 > 80 > 75$.

Ответ: выгоднее всего выбрать скидку 15% на звонки в другие регионы.

882. Петя сначала поднялся на гору со скоростью $2.5 \text{ км/ч}$, а потом спустился по другой дороге со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Найдите общий путь, пройденный Петей, если дорога на гору на $3 \text{ км}$ короче дороги с горы, а время, потраченное на весь путь, составляет $4 \text{ ч}$.

Для решения задачи введем переменные и обозначим известные величины:

• Пусть $s_1$ (км) — это путь на гору.
• Пусть $s_2$ (км) — это путь с горы.
• $v_1 = 2,5$ км/ч — скорость при подъеме.
• $v_2 = 4$ км/ч — скорость при спуске.
• $t_{общ} = 4$ ч — общее время в пути.

Согласно условию, дорога на гору на 3 км короче дороги с горы. Запишем это в виде уравнения:

$s_1 = s_2 - 3$

Общее время движения состоит из времени, потраченного на подъем ($t_1$), и времени, потраченного на спуск ($t_2$). Используя формулу времени $t = \frac{s}{v}$, получаем:

$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{s_1}{2,5}$

$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{s_2}{4}$

Сумма времени подъема и спуска равна общему времени в пути:

$t_1 + t_2 = 4$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{s_1}{2,5} + \frac{s_2}{4} = 4$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $s_1$ и $s_2$:

$ \begin{cases} s_1 = s_2 - 3 \\ \frac{s_1}{2,5} + \frac{s_2}{4} = 4 \end{cases} $

Подставим выражение для $s_1$ из первого уравнения во второе, чтобы получить уравнение с одной переменной $s_2$:

$\frac{s_2 - 3}{2,5} + \frac{s_2}{4} = 4$

Для решения этого уравнения избавимся от знаменателей, умножив обе части на их наименьшее общее кратное, которое равно 20 ($2,5 \cdot 8 = 20$ и $4 \cdot 5 = 20$).

$20 \cdot \left( \frac{s_2 - 3}{2,5} \right) + 20 \cdot \left( \frac{s_2}{4} \right) = 20 \cdot 4$

$8 \cdot (s_2 - 3) + 5 \cdot s_2 = 80$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$8s_2 - 24 + 5s_2 = 80$

$13s_2 = 80 + 24$

$13s_2 = 104$

$s_2 = \frac{104}{13} = 8$

Итак, длина дороги с горы ($s_2$) составляет 8 км.

Теперь найдем длину дороги на гору ($s_1$):

$s_1 = s_2 - 3 = 8 - 3 = 5$ км.

Общий путь, пройденный Петей, равен сумме длин дороги на гору и с горы:

$S_{общ} = s_1 + s_2 = 5 \text{ км} + 8 \text{ км} = 13 \text{ км}.$

Проверим правильность решения. Время подъема: $t_1 = \frac{5 \text{ км}}{2,5 \text{ км/ч}} = 2$ часа. Время спуска: $t_2 = \frac{8 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 2$ часа. Общее время: $2 + 2 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 13 км.

883. Решите уравнение:

1) $ |7x - 3| = 4; $

2) $ ||x| - 10| = 8; $

3) $ 4(x - 2) + 5|x| = 10; $

4) $ |x| = 3x - 8. $

1) $|7x - 3| = 4$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B>0$) равносильно двум уравнениям: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим два случая:

а) $7x - 3 = 4$
$7x = 4 + 3$
$7x = 7$
$x_1 = 1$

б) $7x - 3 = -4$
$7x = -4 + 3$
$7x = -1$
$x_2 = -\frac{1}{7}$

Ответ: $1; -\frac{1}{7}$.

2) $||x| - 10| = 8$

Сначала раскроем внешний модуль. Выражение под внешним модулем, $|x| - 10$, может быть равно $8$ или $-8$.

Рассмотрим два случая:

а) $|x| - 10 = 8$
$|x| = 18$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 18$ и $x_2 = -18$.

б) $|x| - 10 = -8$
$|x| = -8 + 10$
$|x| = 2$
Это уравнение также имеет два корня: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-18; -2; 2; 18$.

3) $4(x - 2) + 5|x| = 10$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль $|x|$, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4(x - 2) + 5x = 10$
$4x - 8 + 5x = 10$
$9x = 18$
$x = 2$
Поскольку $2 \ge 0$, это решение удовлетворяет условию.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4(x - 2) + 5(-x) = 10$
$4x - 8 - 5x = 10$
$-x = 18$
$x = -18$
Поскольку $-18 < 0$, это решение удовлетворяет условию.

Ответ: $-18; 2$.

4) $|x| = 3x - 8$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):
$3x - 8 \ge 0$
$3x \ge 8$
$x \ge \frac{8}{3}$

Теперь раскроем модуль. Так как из ОДЗ следует, что $x$ должен быть положительным ($x \ge \frac{8}{3} > 0$), то $|x| = x$.

Подставим $x$ вместо $|x|$ в исходное уравнение:
$x = 3x - 8$
$8 = 3x - x$
$8 = 2x$
$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=4$ нашему условию $x \ge \frac{8}{3}$.
$4 \ge \frac{8}{3}$ (или $4 \ge 2\frac{2}{3}$), что является верным.

Следовательно, $x=4$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $4$.

884. Докажите, что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3.

Пусть дано произвольное трёхзначное число. Обозначим его цифры как a, b и c, где a — цифра в разряде сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), b — цифра в разряде десятков ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$), а c — цифра в разряде единиц ($c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Тогда само число можно представить в виде десятичной записи: $100a + 10b + c$.

Сумма его цифр равна $a + b + c$.

Удвоенная сумма его цифр равна $2 \cdot (a + b + c)$.

Теперь составим выражение для суммы трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр. Обозначим эту сумму как S.

$S = (100a + 10b + c) + 2(a + b + c)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$S = 100a + 10b + c + 2a + 2b + 2c$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$S = (100a + 2a) + (10b + 2b) + (c + 2c)$

$S = 102a + 12b + 3c$

Чтобы доказать, что сумма S делится нацело на 3, нужно показать, что её можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 3. Для этого вынесем общий множитель 3 за скобки. Заметим, что все коэффициенты в выражении $102a + 12b + 3c$ делятся на 3: $102 = 3 \cdot 34$; $12 = 3 \cdot 4$; $3 = 3 \cdot 1$.

$S = 3 \cdot 34a + 3 \cdot 4b + 3 \cdot c = 3(34a + 4b + c)$

Поскольку a, b и c по определению являются целыми числами (цифрами), то и выражение в скобках $(34a + 4b + c)$ также является целым числом.

Таким образом, мы представили исходную сумму S в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа. Это по определению означает, что сумма S делится нацело на 3.

Ответ: сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр всегда делится нацело на 3, что и требовалось доказать.

885. Выберите среди чисел 742; 5,8; -206; $11\frac{7}{19}$; 19; 0; 8; 70,16; -43; -2,7; $\frac{7}{32}$.

1) натуральные;

2) целые;

3) дробные неотрицательные.

1) натуральные;

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов (1, 2, 3, ...). Это целые положительные числа. Из предложенного списка чисел 742; 5,8; -206; $11\frac{7}{19}$; 19; 0; 8; 70,16; -43; -2,7; $\frac{7}{32}$ необходимо выбрать именно такие.
Числа 742, 19 и 8 являются целыми и положительными, а значит, натуральными.
Число 0 не является натуральным (согласно определению, принятому в большинстве школьных программ).
Числа -206 и -43 являются целыми, но отрицательными.
Числа 5,8; $11\frac{7}{19}$; 70,16; -2,7; $\frac{7}{32}$ не являются целыми (имеют дробную часть).
Ответ: 742; 19; 8.

2) целые;

Целые числа — это натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и число 0. Целые числа не имеют дробной части. Из предложенного списка выберем все числа без дробной части.
Числа 742, -206, 19, 0, 8, -43 являются целыми.
Остальные числа в списке (5,8; $11\frac{7}{19}$; 70,16; -2,7; $\frac{7}{32}$) имеют дробную часть, поэтому они не являются целыми.
Ответ: 742; -206; 19; 0; 8; -43.

3) дробные неотрицательные.

Дробные неотрицательные числа — это числа, которые не являются целыми и при этом больше или равны нулю ($x \ge 0$). К ним относятся положительные десятичные и обыкновенные дроби, а также смешанные числа. Термин "дробные" означает, что целые числа, включая 0, в эту категорию не входят.
Сначала выберем из списка все числа, которые не являются целыми: 5,8; $11\frac{7}{19}$; 70,16; -2,7; $\frac{7}{32}$.
Теперь из этой группы выберем неотрицательные (те, что больше или равны нулю): 5,8 (положительное); $11\frac{7}{19}$ (положительное); 70,16 (положительное); $\frac{7}{32}$ (положительное).
Число -2,7 является дробным, но отрицательным, поэтому оно не подходит.
Ответ: 5,8; $11\frac{7}{19}$; 70,16; $\frac{7}{32}$.