Номер 884, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 884, страница 147.

Условие.

884. Докажите, что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть дано произвольное трёхзначное число. Обозначим его цифры как a, b и c, где a — цифра в разряде сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), b — цифра в разряде десятков ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$), а c — цифра в разряде единиц ($c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Тогда само число можно представить в виде десятичной записи: $100a + 10b + c$.

Сумма его цифр равна $a + b + c$.

Удвоенная сумма его цифр равна $2 \cdot (a + b + c)$.

Теперь составим выражение для суммы трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр. Обозначим эту сумму как S.

$S = (100a + 10b + c) + 2(a + b + c)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$S = 100a + 10b + c + 2a + 2b + 2c$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$S = (100a + 2a) + (10b + 2b) + (c + 2c)$

$S = 102a + 12b + 3c$

Чтобы доказать, что сумма S делится нацело на 3, нужно показать, что её можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 3. Для этого вынесем общий множитель 3 за скобки. Заметим, что все коэффициенты в выражении $102a + 12b + 3c$ делятся на 3: $102 = 3 \cdot 34$; $12 = 3 \cdot 4$; $3 = 3 \cdot 1$.

$S = 3 \cdot 34a + 3 \cdot 4b + 3 \cdot c = 3(34a + 4b + c)$

Поскольку a, b и c по определению являются целыми числами (цифрами), то и выражение в скобках $(34a + 4b + c)$ также является целым числом.

Таким образом, мы представили исходную сумму S в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа. Это по определению означает, что сумма S делится нацело на 3.

Ответ: сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр всегда делится нацело на 3, что и требовалось доказать.