Номер 883, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 883, страница 147.

Условие.

883. Решите уравнение:

1) $ |7x - 3| = 4; $

2) $ ||x| - 10| = 8; $

3) $ 4(x - 2) + 5|x| = 10; $

4) $ |x| = 3x - 8. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $|7x - 3| = 4$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B>0$) равносильно двум уравнениям: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим два случая:

а) $7x - 3 = 4$
$7x = 4 + 3$
$7x = 7$
$x_1 = 1$

б) $7x - 3 = -4$
$7x = -4 + 3$
$7x = -1$
$x_2 = -\frac{1}{7}$

Ответ: $1; -\frac{1}{7}$.

2) $||x| - 10| = 8$

Сначала раскроем внешний модуль. Выражение под внешним модулем, $|x| - 10$, может быть равно $8$ или $-8$.

Рассмотрим два случая:

а) $|x| - 10 = 8$
$|x| = 18$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 18$ и $x_2 = -18$.

б) $|x| - 10 = -8$
$|x| = -8 + 10$
$|x| = 2$
Это уравнение также имеет два корня: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-18; -2; 2; 18$.

3) $4(x - 2) + 5|x| = 10$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль $|x|$, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4(x - 2) + 5x = 10$
$4x - 8 + 5x = 10$
$9x = 18$
$x = 2$
Поскольку $2 \ge 0$, это решение удовлетворяет условию.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4(x - 2) + 5(-x) = 10$
$4x - 8 - 5x = 10$
$-x = 18$
$x = -18$
Поскольку $-18 < 0$, это решение удовлетворяет условию.

Ответ: $-18; 2$.

4) $|x| = 3x - 8$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):
$3x - 8 \ge 0$
$3x \ge 8$
$x \ge \frac{8}{3}$

Теперь раскроем модуль. Так как из ОДЗ следует, что $x$ должен быть положительным ($x \ge \frac{8}{3} > 0$), то $|x| = x$.

Подставим $x$ вместо $|x|$ в исходное уравнение:
$x = 3x - 8$
$8 = 3x - x$
$8 = 2x$
$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=4$ нашему условию $x \ge \frac{8}{3}$.
$4 \ge \frac{8}{3}$ (или $4 \ge 2\frac{2}{3}$), что является верным.

Следовательно, $x=4$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $4$.