Номер 877, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 877, страница 147.

Условие.

877. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(2n-1)^3 - 4n^2 + 2n + 1$ делится нацело на 16.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что значение выражения $(2n - 1)^3 - 4n^2 + 2n + 1$ делится нацело на 16 при любом натуральном $n$, мы сначала упростим это выражение.

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для раскрытия скобок:

$(2n - 1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 4n^2 + 2n + 1 = 8n^3 - 12n^2 - 4n^2 + 6n + 2n - 1 + 1 = 8n^3 - 16n^2 + 8n$

Разложим полученный многочлен на множители. Сначала вынесем за скобки общий множитель $8n$:

$8n^3 - 16n^2 + 8n = 8n(n^2 - 2n + 1)$

Заметим, что выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности $(n-1)^2$:

$8n(n^2 - 2n + 1) = 8n(n-1)^2$

Теперь задача сводится к доказательству того, что выражение $8n(n-1)^2$ делится на 16. Для этого необходимо показать, что произведение $n(n-1)^2$ является четным числом, то есть делится на 2.

Рассмотрим два возможных случая для натурального числа $n$.

Случай 1: $n$ — четное число.
Если $n$ четно, то оно само является множителем в произведении $n(n-1)^2$. Произведение любого числа на четное число является четным. Следовательно, $n(n-1)^2$ — четное.

Случай 2: $n$ — нечетное число.
Если $n$ нечетно, то число $n-1$ будет четным. Тогда его квадрат, $(n-1)^2$, также будет четным (более того, он будет делиться на 4). Произведение $n(n-1)^2$ будет содержать четный множитель $(n-1)^2$, а значит, само произведение будет четным.

Итак, в обоих случаях произведение $n(n-1)^2$ является четным числом. Это означает, что его можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Тогда исходное выражение равно:

$8n(n-1)^2 = 8 \cdot (2k) = 16k$

Выражение $16k$ по определению делится нацело на 16. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ значение данного выражения делится нацело на 16.