Номер 875, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 875, страница 146.

Условие.

875. Значения переменных $x_1$ и $x_2$ таковы, что выполняются равенства

$x_1 - x_2 = 8, x_1x_2 = 5$. Найдите значение выражения:

1) $x_1x_2^2 - x_1^2x_2$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 + x_2)^2$;

4) $x_1^3 - x_2^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Даны значения: $x_1 - x_2 = 8$ и $x_1x_2 = 5$.

1) $x_1x_2^2 - x_1^2x_2$
Для нахождения значения данного выражения вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:
$x_1x_2^2 - x_1^2x_2 = x_1x_2(x_2 - x_1)$
Из условия известно, что $x_1 - x_2 = 8$. Тогда $x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2) = -8$.
Теперь подставим известные значения $x_1x_2 = 5$ и $(x_2 - x_1) = -8$ в полученное выражение:
$5 \cdot (-8) = -40$
Ответ: -40

2) $x_1^2 + x_2^2$
Это выражение можно получить, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Возведем в квадрат известное нам равенство $x_1 - x_2 = 8$:
$(x_1 - x_2)^2 = 8^2$
$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = 64$
Выразим из этого уравнения искомую сумму квадратов $x_1^2 + x_2^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = 64 + 2x_1x_2$
Подставим известное значение $x_1x_2 = 5$:
$x_1^2 + x_2^2 = 64 + 2 \cdot 5 = 64 + 10 = 74$
Ответ: 74

3) $(x_1 + x_2)^2$
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Сгруппируем слагаемые: $(x_1^2 + x_2^2) + 2x_1x_2$.
Из предыдущего пункта мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 74$. Подставим это значение и известное значение $x_1x_2 = 5$:
$74 + 2 \cdot 5 = 74 + 10 = 84$
Также можно воспользоваться тождеством $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$.
$(x_1 + x_2)^2 = (x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2 = 8^2 + 4 \cdot 5 = 64 + 20 = 84$.
Ответ: 84

4) $x_1^3 - x_2^3$
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)$
Перегруппируем слагаемые во второй скобке: $(x_1 - x_2)((x_1^2 + x_2^2) + x_1x_2)$.
Мы знаем, что $x_1 - x_2 = 8$. Из пункта 2 мы нашли, что $x_1^2 + x_2^2 = 74$. Из условия дано, что $x_1x_2 = 5$.
Подставим все известные значения в выражение:
$8 \cdot (74 + 5) = 8 \cdot 79 = 632$
Ответ: 632