Номер 873, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 873, страница 146.

Условие.

873. Разложите на множители трёхчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:

1) $x^2 - 10x + 24;$

2) $a^2 + 4a - 32;$

3) $b^2 - 3b - 4;$

4) $4a^2 - 12a + 5;$

5) $9x^2 - 24xy + 7y^2;$

6) $36m^2 - 60mn + 21n^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 - 10x + 24$

Чтобы выделить квадрат двучлена, представим $-10x$ как удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot 5$. Для полного квадрата по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ нам не хватает слагаемого $5^2=25$. Добавим и вычтем $25$ из исходного трехчлена:

$x^2 - 10x + 24 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 24$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычислим оставшуюся часть:

$(x - 5)^2 - 1$

Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = (x - 5)$ и $B = 1$:

$(x - 5)^2 - 1^2 = ((x - 5) - 1)((x - 5) + 1) = (x - 6)(x - 4)$

Ответ: $(x - 4)(x - 6)$.

2) $a^2 + 4a - 32$

Выделим полный квадрат из выражения $a^2 + 4a$. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x=a$, а $2ay = 4a$, откуда $y=2$. Для полного квадрата нужно слагаемое $y^2=2^2=4$. Добавим и вычтем 4:

$a^2 + 4a - 32 = (a^2 + 4a + 4) - 4 - 32$

Группируем первые три слагаемых и вычисляем остаток:

$(a + 2)^2 - 36$

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = (a+2)$ и $B = \sqrt{36} = 6$:

$(a + 2)^2 - 6^2 = ((a + 2) - 6)((a + 2) + 6) = (a - 4)(a + 8)$

Ответ: $(a - 4)(a + 8)$.

3) $b^2 - 3b - 4$

Выделим полный квадрат из $b^2 - 3b$. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, имеем $x=b$, $-2by = -3b$, откуда $y = \frac{3}{2}$. Необходимое слагаемое равно $y^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавим и вычтем его:

$b^2 - 3b - 4 = (b^2 - 3b + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 4$

Группируем полный квадрат и приводим константы к общему знаменателю:

$(b - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{16}{4} = (b - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (b - \frac{3}{2})$ и $B = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$:

$(b - \frac{3}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = ((b - \frac{3}{2}) - \frac{5}{2})((b - \frac{3}{2}) + \frac{5}{2}) = (b - \frac{8}{2})(b + \frac{2}{2}) = (b - 4)(b + 1)$

Ответ: $(b + 1)(b - 4)$.

4) $4a^2 - 12a + 5$

Представим $4a^2$ как $(2a)^2$. Для выделения полного квадрата $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ имеем $x=2a$. Средний член $-12a$ должен быть равен $-2xy$, то есть $-2 \cdot (2a) \cdot y = -12a$, откуда $y=3$. Для полного квадрата нужно слагаемое $y^2=3^2=9$. Представим $+5$ как $+9-4$:

$4a^2 - 12a + 5 = (4a^2 - 12a + 9) - 4$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(2a - 3)^2 - 4$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (2a-3)$ и $B = \sqrt{4} = 2$:

$(2a - 3)^2 - 2^2 = ((2a - 3) - 2)((2a - 3) + 2) = (2a - 5)(2a - 1)$

Ответ: $(2a - 1)(2a - 5)$.

5) $9x^2 - 24xy + 7y^2$

Представим $9x^2$ как $(3x)^2$. Для выделения полного квадрата $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ имеем $a=3x$. Средний член $-24xy$ должен быть равен $-2ab$, то есть $-2 \cdot (3x) \cdot b = -24xy$, откуда $b=4y$. Для полного квадрата нужно слагаемое $b^2=(4y)^2=16y^2$. Представим $7y^2$ как $16y^2 - 9y^2$:

$9x^2 - 24xy + 7y^2 = (9x^2 - 24xy + 16y^2) - 16y^2 + 7y^2$

Группируем слагаемые, образующие полный квадрат:

$(3x - 4y)^2 - 9y^2$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (3x-4y)$ и $B = \sqrt{9y^2} = 3y$:

$(3x - 4y)^2 - (3y)^2 = ((3x - 4y) - 3y)((3x - 4y) + 3y) = (3x - 7y)(3x - y)$

Ответ: $(3x - y)(3x - 7y)$.

6) $36m^2 - 60mn + 21n^2$

Представим $36m^2$ как $(6m)^2$. Для выделения полного квадрата $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ имеем $a=6m$. Средний член $-60mn$ должен быть равен $-2ab$, то есть $-2 \cdot (6m) \cdot b = -60mn$, откуда $b=5n$. Для полного квадрата нужно слагаемое $b^2=(5n)^2=25n^2$. Представим $21n^2$ как $25n^2 - 4n^2$:

$36m^2 - 60mn + 21n^2 = (36m^2 - 60mn + 25n^2) - 25n^2 + 21n^2$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(6m - 5n)^2 - 4n^2$

Применяем формулу разности квадратов, где $A = (6m-5n)$ и $B = \sqrt{4n^2} = 2n$:

$(6m - 5n)^2 - (2n)^2 = ((6m - 5n) - 2n)((6m - 5n) + 2n) = (6m - 7n)(6m - 3n)$

Во втором множителе $(6m - 3n)$ можно вынести за скобки общий множитель 3:

$(6m - 7n) \cdot 3(2m - n) = 3(2m - n)(6m - 7n)$

Ответ: $3(2m - n)(6m - 7n)$.