Номер 874, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 874, страница 146.

Условие.

874. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 4x + 3;$

2) $a^2 + 2a - 24;$

3) $y^2 + 12y + 35;$

4) $x^2 + x - 6;$

5) $c^2 + 8cd + 15d^2;$

6) $9x^2 - 30xy + 16y^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения на множители квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3$ необходимо найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$ (то есть $-4$), а произведение равно свободному члену (то есть $3$). Такими числами являются $-1$ и $-3$, так как $-1 + (-3) = -4$ и $(-1) \cdot (-3) = 3$.
Теперь представим средний член $-4x$ в виде суммы $-x - 3x$ и выполним группировку:
$x^2 - 4x + 3 = x^2 - x - 3x + 3 = (x^2 - x) - (3x - 3)$
Вынесем общий множитель в каждой группе:
$x(x - 1) - 3(x - 1)$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x - 1)(x - 3)$
Ответ: $(x - 1)(x - 3)$

2) Для разложения многочлена $a^2 + 2a - 24$ найдем два числа, сумма которых равна $2$, а произведение равно $-24$. Этими числами являются $6$ и $-4$.
Представим член $2a$ как $6a - 4a$ и сгруппируем слагаемые:
$a^2 + 2a - 24 = a^2 + 6a - 4a - 24 = (a^2 + 6a) - (4a + 24)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$a(a + 6) - 4(a + 6)$
Вынесем общий множитель $(a+6)$:
$(a + 6)(a - 4)$
Ответ: $(a + 6)(a - 4)$

3) Чтобы разложить на множители $y^2 + 12y + 35$, ищем два числа, сумма которых равна $12$, а произведение — $35$. Это числа $5$ и $7$.
Представим $12y$ как $5y + 7y$ и сгруппируем:
$y^2 + 12y + 35 = y^2 + 5y + 7y + 35 = (y^2 + 5y) + (7y + 35)$
Вынесем общие множители:
$y(y + 5) + 7(y + 5)$
Вынесем общий множитель $(y+5)$:
$(y + 5)(y + 7)$
Ответ: $(y + 5)(y + 7)$

4) Для разложения $x^2 + x - 6$ найдем два числа, сумма которых равна $1$, а произведение — $-6$. Это числа $3$ и $-2$.
Представим $x$ как $3x - 2x$ и выполним группировку:
$x^2 + x - 6 = x^2 + 3x - 2x - 6 = (x^2 + 3x) - (2x + 6)$
Вынесем общие множители:
$x(x + 3) - 2(x + 3)$
Вынесем общий множитель $(x+3)$:
$(x + 3)(x - 2)$
Ответ: $(x + 3)(x - 2)$

5) Для разложения многочлена $c^2 + 8cd + 15d^2$ представим средний член $8cd$ в виде суммы двух одночленов. Для этого найдем два числа, сумма которых равна $8$, а произведение равно произведению коэффициентов при $c^2$ и $d^2$, то есть $1 \cdot 15 = 15$. Этими числами являются $3$ и $5$.
Представим $8cd$ как $3cd + 5cd$:
$c^2 + 8cd + 15d^2 = c^2 + 3cd + 5cd + 15d^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(c^2 + 3cd) + (5cd + 15d^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$c(c + 3d) + 5d(c + 3d)$
Вынесем общий множитель $(c + 3d)$:
$(c + 3d)(c + 5d)$
Ответ: $(c + 3d)(c + 5d)$

6) Для разложения многочлена $9x^2 - 30xy + 16y^2$ представим средний член $-30xy$ в виде суммы. Найдем два числа, сумма которых равна $-30$, а произведение равно $9 \cdot 16 = 144$. Это числа $-6$ и $-24$.
Представим $-30xy$ как $-6xy - 24xy$:
$9x^2 - 30xy + 16y^2 = 9x^2 - 6xy - 24xy + 16y^2$
Сгруппируем слагаемые (обращая внимание на знак при вынесении минуса за скобку):
$(9x^2 - 6xy) - (24xy - 16y^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$3x(3x - 2y) - 8y(3x - 2y)$
Вынесем общий множитель $(3x - 2y)$:
$(3x - 2y)(3x - 8y)$
Ответ: $(3x - 2y)(3x - 8y)$