Номер 9, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 5 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 9, страница 151.

Условие.

9. Разложите на множители многочлен $81a^4 - 1$.

А) $(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

Б) $(3a^2 - 1)(3a^2 + 1)(9a^2 + 1)$

В) $(3a - 1)^2(3a + 1)^2$

Г) $(3a - 1)^4$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для разложения многочлена $81a^4 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Шаг 1: Представим исходное выражение в виде разности двух квадратов. Заметим, что $81a^4$ можно записать как $(9a^2)^2$, а $1$ можно записать как $1^2$. Таким образом, получаем:

$81a^4 - 1 = (9a^2)^2 - 1^2$

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов к выражению $(9a^2)^2 - 1^2$. Здесь $x = 9a^2$ и $y = 1$.

$(9a^2)^2 - 1^2 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1)$

Шаг 3: Проанализируем полученные множители. Первый множитель $9a^2 - 1$ также является разностью квадратов, так как $9a^2 = (3a)^2$ и $1 = 1^2$. Снова применим формулу разности квадратов, где теперь $x = 3a$ и $y = 1$:

$9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1)$

Второй множитель $9a^2 + 1$ является суммой квадратов и не может быть разложен на множители с действительными коэффициентами.

Шаг 4: Соберем все множители вместе. Подставим результат из шага 3 в выражение, полученное на шаге 2:

$81a^4 - 1 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1) = (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

Полученное выражение является окончательным разложением многочлена на множители. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом А.

Ответ: А) $(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$