Номер 865, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 865, страница 146.

Условие.

865. Решите уравнение:

1) $x^3 - x = 0;$

2) $x^4 + x^2 = 0;$

3) $x^4 - 8x^3 = 0;$

4) $49x^3 + 14x^2 + x = 0;$

5) $x^3 + x^2 - x - 1 = 0;$

6) $x^3 - 4x^2 - 25x + 100 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дано уравнение: $x^3 - x = 0$.

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных случая:

$x = 0$

или $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$

или $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

2)

Дано уравнение: $x^4 + x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = 0$.

Ответ: $0$.

3)

Дано уравнение: $x^4 - 8x^3 = 0$.

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x^3 = 0$ или $x - 8 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Из второго уравнения получаем $x = 8$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 8$.

4)

Дано уравнение: $49x^3 + 14x^2 + x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(49x^2 + 14x + 1) = 0$

Выражение в скобках $49x^2 + 14x + 1$ представляет собой полный квадрат суммы, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=7x$ и $b=1$:

$49x^2 + 14x + 1 = (7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot 1 + 1^2 = (7x + 1)^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$x(7x + 1)^2 = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $(7x + 1)^2 = 0$.

Из второго уравнения следует: $7x + 1 = 0 \implies 7x = -1 \implies x = -1/7$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1/7; 0$.

5)

Дано уравнение: $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$.

Для решения этого уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + x^2) - (x + 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 1(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 1) = 0$

Второй множитель, $x^2 - 1$, является разностью квадратов, которую можно разложить на $(x-1)(x+1)$.

$(x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0$, что эквивалентно $(x + 1)^2(x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

или $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $-1; 1$.

6)

Дано уравнение: $x^3 - 4x^2 - 25x + 100 = 0$.

Применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^3 - 4x^2) - (25x - 100) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 4) - 25(x - 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 - 25) = 0$

Второй множитель, $x^2 - 25$, является разностью квадратов: $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 4)(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

или $x - 5 = 0 \implies x = 5$

или $x + 5 = 0 \implies x = -5$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-5; 4; 5$.