Номер 131, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §3. Решение задач с помощью уравнений - номер 131, страница 26.

Условие.

131. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение каждого из выражений $n - 2$, $n + 24$, $n + 26$ является простым числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи, для некоторого натурального числа $n$ три числа $p_1 = n - 2$, $p_2 = n + 24$ и $p_3 = n + 26$ должны быть простыми.

Поскольку наименьшее простое число это 2, то значение выражения $n-2$ должно быть не меньше 2. Из неравенства $n - 2 \ge 2$ следует, что $n \ge 4$.

Рассмотрим остатки от деления этих трех чисел на 3. Любое целое число при делении на 3 дает один из трех возможных остатков: 0, 1 или 2. Заметим, что наши три числа дают разные остатки при делении на 3:
$n + 24 = n + 3 \cdot 8 \implies n + 24 \equiv n \pmod{3}$
$n - 2 = n - 3 + 1 \implies n - 2 \equiv n + 1 \pmod{3}$
$n + 26 = n + 3 \cdot 8 + 2 \implies n + 26 \equiv n + 2 \pmod{3}$

Остатки этих чисел при делении на 3 — это $n \pmod{3}$, $n+1 \pmod{3}$ и $n+2 \pmod{3}$. Это остатки от деления трех последовательных чисел, поэтому один из них обязательно равен 0. Это означает, что одно из чисел ($n-2$, $n+24$ или $n+26$) обязательно делится на 3.

Поскольку эти числа по условию являются простыми, то то из них, которое делится на 3, должно быть равно самому числу 3 (так как 3 — единственное простое число, кратное 3).

Рассмотрим три возможных случая.
Первый случай: $n - 2 = 3$. Отсюда $n=5$. Проверим это значение. При $n=5$ получаем числа:
$n - 2 = 5 - 2 = 3$ (простое)
$n + 24 = 5 + 24 = 29$ (простое)
$n + 26 = 5 + 26 = 31$ (простое)
Все три числа являются простыми, значит, $n=5$ является решением.

Второй случай: $n + 24 = 3$. Отсюда $n = -21$. Это значение не является натуральным числом, поэтому не подходит.

Третий случай: $n + 26 = 3$. Отсюда $n = -23$. Это значение также не является натуральным.

Таким образом, единственным натуральным значением $n$, удовлетворяющим условию, является 5.

Ответ: 5