Номер 128, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §3. Решение задач с помощью уравнений - номер 128, страница 26.

Условие.

128. Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37, чтобы полученное число делилось нацело на 6?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть искомая цифра — это $x$. Когда мы приписываем эту цифру слева и справа к числу 37, мы получаем четырехзначное число вида $\overline{x37x}$. Поскольку $x$ является первой цифрой, она не может быть равна нулю, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

По условию задачи, полученное число должно делиться нацело на 6. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на 2 и на 3.

1. Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть его последняя цифра должна быть четной. В нашем случае последняя цифра — это $x$. Следовательно, $x$ должно быть четной цифрой. Из возможных значений для $x$ остаются $\{2, 4, 6, 8\}$.

2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Найдем сумму цифр числа $\overline{x37x}$:
$S = x + 3 + 7 + x = 2x + 10$.

Теперь необходимо проверить, для какого из возможных значений $x$ (2, 4, 6, 8) сумма цифр $S$ будет делиться на 3.

• Если $x = 2$, то $S = 2 \cdot 2 + 10 = 14$. Число 14 не делится на 3.
• Если $x = 4$, то $S = 2 \cdot 4 + 10 = 18$. Число 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$). Этот вариант подходит.
• Если $x = 6$, то $S = 2 \cdot 6 + 10 = 22$. Число 22 не делится на 3.
• Если $x = 8$, то $S = 2 \cdot 8 + 10 = 26$. Число 26 не делится на 3.

Таким образом, единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это 4. Приписав ее, мы получим число 4374. Выполним проверку: $4374 \div 6 = 729$. Деление выполняется нацело.

Ответ: 4.