Номер 130, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §3. Решение задач с помощью уравнений - номер 130, страница 26.

Условие.

130. Может ли быть целым числом значение выражения:

1) $\frac{1}{x}$;

2) $\frac{x}{x+1}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Да, значение выражения $ \frac{1}{x} $ может быть целым числом.
Для того чтобы значение выражения было целым числом $n$, где $n \in Z$, должно выполняться равенство $ \frac{1}{x} = n $.
Отсюда можно выразить $x$: $ x = \frac{1}{n} $.
Поскольку на ноль делить нельзя, $x \neq 0$, и, следовательно, $n \neq 0$.
Таким образом, для любого ненулевого целого числа $n$ можно подобрать такое значение $x$ (равное $\frac{1}{n}$), что значение выражения $\frac{1}{x}$ будет равно $n$.
Например, если $x = 0.5$, то значение выражения равно $ \frac{1}{0.5} = 2 $, что является целым числом. Если $x = -1$, то значение выражения равно $ \frac{1}{-1} = -1 $, что также является целым числом.
Ответ: да, может.

2) Да, значение выражения $ \frac{x}{x+1} $ может быть целым числом.
Приравняем выражение к целому числу $n$: $ \frac{x}{x+1} = n $, где $n \in Z$.
Выражение определено при $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $.
Решим уравнение относительно $x$:
$ x = n(x+1) $
$ x = nx + n $
$ x - nx = n $
$ x(1-n) = n $
Если $n=1$, уравнение принимает вид $ x \cdot 0 = 1 $, что не имеет решений. Значит, значение выражения не может быть равно 1.
Если $n \neq 1$, то $ x = \frac{n}{1-n} $.
Таким образом, для любого целого числа $n$, кроме 1, можно найти такое значение $x$, при котором значение выражения будет равно $n$.
Например, если мы хотим, чтобы значение выражения было равно 0 ($n=0$), нужно взять $ x = \frac{0}{1-0} = 0 $. Проверка: $ \frac{0}{0+1} = 0 $.
Если мы хотим, чтобы значение выражения было равно 2 ($n=2$), нужно взять $ x = \frac{2}{1-2} = -2 $. Проверка: $ \frac{-2}{-2+1} = \frac{-2}{-1} = 2 $.
Поскольку существуют значения $x$, при которых выражение принимает целые значения, ответ положительный.
Ответ: да, может.