Номер 752, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 752, страница 128.

Условие.

752. Пусть $x_1, x_2, ..., x_{25}$ — некоторый набор натуральных чисел, а набор $y_1, y_2, ..., y_{25}$ получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения $(x_1 - y_1)(x_2 - y_2)...(x_{25} - y_{25})$ является чётным числом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим данное выражение через $P$: $P = (x_1 - y_1)(x_2 - y_2)\ldots(x_{25} - y_{25})$.

Произведение целых чисел является чётным, если хотя бы один из сомножителей является чётным числом. Мы докажем, что среди 25 сомножителей $(x_i - y_i)$ обязательно найдётся хотя бы один чётный.

Разность двух целых чисел $(a - b)$ является чётной тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что произведение $P$ — нечётное число. Это возможно лишь в том случае, если все 25 сомножителей $(x_i - y_i)$ являются нечётными числами.

Если каждый сомножитель $(x_i - y_i)$ нечётен, это означает, что для каждого $i$ от 1 до 25 числа $x_i$ и $y_i$ имеют разную чётность (одно чётное, другое нечётное).

Рассмотрим сумму всех этих разностей:$S = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) + \ldots + (x_{25} - y_{25})$.

С одной стороны, исходя из нашего предположения, $S$ представляет собой сумму 25 нечётных чисел. Сумма нечётного количества (25) нечётных слагаемых всегда является нечётным числом. Таким образом, $S$ — нечётное число.

С другой стороны, мы можем перегруппировать слагаемые в сумме $S$:$S = (x_1 + x_2 + \ldots + x_{25}) - (y_1 + y_2 + \ldots + y_{25})$.

По условию, набор чисел $\{y_1, y_2, \ldots, y_{25}\}$ является перестановкой набора $\{x_1, x_2, \ldots, x_{25}\}$. Это означает, что оба набора состоят из одних и тех же чисел, просто расположенных в разном порядке. Следовательно, сумма элементов в этих наборах одинакова:$\sum_{i=1}^{25} x_i = \sum_{i=1}^{25} y_i$.

Тогда разность этих сумм равна нулю:$S = \sum_{i=1}^{25} x_i - \sum_{i=1}^{25} y_i = 0$.

Число 0 является чётным.

Мы получили противоречие: сумма $S$ должна быть одновременно и нечётной, и чётной, что невозможно. Следовательно, наше исходное предположение о том, что все сомножители $(x_i - y_i)$ нечётны, неверно. Значит, хотя бы один из них должен быть чётным.

Если хотя бы один из сомножителей в произведении $P$ является чётным, то и всё произведение $P$ является чётным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.