Номер 749, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 749, страница 127.

Условие.

749. Постройте отрезки $AB$ и $CD$ и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если $A(-5; -2)$; $B(1; 4)$; $C(-3; 2)$; $D(2; -3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи сначала опишем процесс построения отрезков, а затем аналитически найдем координаты точки их пересечения.

Построение отрезков AB и CD

На координатной плоскости необходимо выполнить следующие действия:
1. Отметить точки по их заданным координатам: $A(-5; -2)$, $B(1; 4)$, $C(-3; 2)$ и $D(2; -3)$.
2. Соединить точки A и B прямой линией, чтобы получить отрезок AB.
3. Соединить точки C и D прямой линией, чтобы получить отрезок CD.
Графически можно увидеть, что отрезки пересекаются в одной точке.

Нахождение координат точки пересечения

Чтобы найти точные координаты точки пересечения, необходимо составить уравнения прямых, содержащих эти отрезки, и решить систему этих уравнений.

1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки $A(-5; -2)$ и $B(1; 4)$.
Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $.
Подставим координаты точек A и B: $ \frac{x - (-5)}{1 - (-5)} = \frac{y - (-2)}{4 - (-2)} $
$ \frac{x + 5}{6} = \frac{y + 2}{6} $
Умножив обе части на 6, получаем: $ x + 5 = y + 2 $
Отсюда уравнение прямой AB: $ y = x + 3 $.

2. Составим уравнение прямой, проходящей через точки $C(-3; 2)$ и $D(2; -3)$.
Подставим координаты точек C и D в ту же формулу: $ \frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 2}{-3 - 2} $
$ \frac{x + 3}{5} = \frac{y - 2}{-5} $
Умножив обе части на 5, получаем: $ x + 3 = -(y - 2) $
$ x + 3 = -y + 2 $
Отсюда уравнение прямой CD: $ y = -x - 1 $.

3. Решим систему уравнений, чтобы найти точку пересечения прямых: $ \begin{cases} y = x + 3 \\ y = -x - 1 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений: $ x + 3 = -x - 1 $
$ 2x = -4 $
$ x = -2 $
Подставим найденное значение $x = -2$ в первое уравнение, чтобы найти $y$: $ y = -2 + 3 = 1 $
Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами $(-2; 1)$.

4. Проверим, принадлежит ли найденная точка отрезкам. Точка принадлежит отрезку, если ее координаты находятся между соответствующими координатами концов отрезка.
- Для отрезка AB с концами $A(-5; -2)$ и $B(1; 4)$: координата $x = -2$ находится в диапазоне $[-5; 1]$, а координата $y = 1$ — в диапазоне $[-2; 4]$. Значит, точка принадлежит отрезку AB.
- Для отрезка CD с концами $C(-3; 2)$ и $D(2; -3)$: координата $x = -2$ находится в диапазоне $[-3; 2]$, а координата $y = 1$ — в диапазоне $[-3; 2]$. Значит, точка принадлежит отрезку CD.
Поскольку точка $(-2; 1)$ принадлежит обоим отрезкам, она является точкой их пересечения.

Ответ: Координаты точки пересечения отрезков AB и CD: $(-2; 1)$.