Номер 751, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 751, страница 128.

Условие.

751. Найдите координаты вершин квадрата со стороной 4, если две его стороны лежат на осях координат, а произведение координат одной из вершин – положительное число. Сколько решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Поскольку две стороны квадрата лежат на осях координат, это означает, что одна из вершин квадрата находится в точке пересечения осей, то есть в начале координат $O(0, 0)$. Пусть стороны, лежащие на осях, это $OA$ и $OB$, где точка $A$ лежит на оси $Ox$, а точка $B$ — на оси $Oy$.

Длина стороны квадрата равна 4. Следовательно, длина отрезков $OA$ и $OB$ равна 4. Это означает, что координаты вершин $A$ и $B$ могут быть следующими: $A(x, 0)$ и $B(0, y)$, где $|x| = 4$ и $|y| = 4$. Таким образом, $x = \pm 4$ и $y = \pm 4$.

Четвертая вершина квадрата, обозначим ее $C$, будет иметь координаты $(x, y)$. Вершины квадрата: $O(0, 0)$, $A(x, 0)$, $B(0, y)$ и $C(x, y)$.

В условии сказано, что произведение координат одной из вершин — положительное число. Проверим это условие для всех четырех вершин:

- Для вершины $O(0, 0)$ произведение координат равно $0 \cdot 0 = 0$.
- для вершины $A(x, 0)$ произведение координат равно $x \cdot 0 = 0$.
- для вершины $B(0, y)$ произведение координат равно $0 \cdot y = 0$.
- для вершины $C(x, y)$ произведение координат равно $x \cdot y$.

Число 0 не является положительным, поэтому условие должно выполняться для вершины $C$, то есть $x \cdot y > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

Это приводит к двум возможным случаям (решениям).

Первый случай
Обе координаты $x$ и $y$ положительны. Тогда $x = 4$ и $y = 4$. Квадрат расположен в первом координатном углу. Его вершины имеют координаты:
$(0, 0)$, $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(4, 4)$.

Второй случай
Обе координаты $x$ и $y$ отрицательны. Тогда $x = -4$ и $y = -4$. Квадрат расположен в третьем координатном углу. Его вершины имеют координаты:
$(0, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, -4)$, $(-4, -4)$.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Координаты вершин квадрата: $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(0, 4)$, $(4, 4)$ или $(0, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, -4)$, $(-4, -4)$. Задача имеет 2 решения.