Номер 744, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 744, страница 127.

Условие.

744. Решите уравнение:

1) $|7x - 3| = 4;$

2) $||x| - 10| = 8;$

3) $4(x - 2) + 5|x| = 10;$

4) $|x| = 3x - 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дано уравнение: $|7x - 3| = 4$.

По определению модуля, если $|a| = b$ и $b \ge 0$, то $a = b$ или $a = -b$. В данном случае $a = 7x - 3$ и $b = 4$.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1:

$7x - 3 = 4$

$7x = 4 + 3$

$7x = 7$

$x_1 = 1$

Случай 2:

$7x - 3 = -4$

$7x = -4 + 3$

$7x = -1$

$x_2 = - \frac{1}{7}$

Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $1; -1/7$.

2)

Дано уравнение: $||x| - 10| = 8$.

Сначала раскроем внешний модуль. Уравнение распадается на два:

$|x| - 10 = 8$ или $|x| - 10 = -8$.

Решим каждое из этих уравнений отдельно.

Уравнение 1:

$|x| - 10 = 8$

$|x| = 18$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 18$ и $x_2 = -18$.

Уравнение 2:

$|x| - 10 = -8$

$|x| = 10 - 8$

$|x| = 2$

Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.

Ответ: $-18; -2; 2; 18$.

3)

Дано уравнение: $4(x - 2) + 5|x| = 10$.

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$4(x - 2) + 5x = 10$

$4x - 8 + 5x = 10$

$9x = 18$

$x = 2$

Найденный корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$4(x - 2) + 5(-x) = 10$

$4x - 8 - 5x = 10$

$-x = 18$

$x = -18$

Найденный корень $x = -18$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является решением.

Ответ: $-18; 2$.

4)

Дано уравнение: $|x| = 3x - 8$.

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):

$3x - 8 \ge 0$

$3x \ge 8$

$x \ge \frac{8}{3}$

Теперь раскроем модуль, учитывая это условие.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x = 3x - 8$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=4$ нашему ОДЗ: $4 \ge \frac{8}{3}$ (или $4 \ge 2\frac{2}{3}$). Условие выполняется, значит, $x=4$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x = 3x - 8$

$4x = 8$

$x = 2$

Найденное значение $x=2$ не удовлетворяет условию этого случая ($x < 0$). Также оно не удовлетворяет ОДЗ ($2 < \frac{8}{3}$). Следовательно, $x=2$ не является корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $4$.