Номер 740, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 740, страница 127.

Условие.

740. Представьте в виде произведения выражение:

1) $x^4 + 5x^2 + 9;$

2) $x^4 - 8x^2 + 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Для того чтобы представить выражение $x^4 + 5x^2 + 9$ в виде произведения, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод заключается в добавлении и вычитании некоторого слагаемого, чтобы получить формулу квадрата суммы или разности, а затем применить формулу разности квадратов.

Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$ и $9 = 3^2$. Для получения полного квадрата $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ нам нужно удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot 3 = 6x^2$. В исходном выражении у нас есть слагаемое $5x^2$. Мы можем представить $5x^2$ как $6x^2 - x^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$x^4 + 5x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 - x^2 + 9$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полный квадрат:

$(x^4 + 6x^2 + 9) - x^2$

Выражение в скобках представляет собой квадрат суммы $(x^2 + 3)^2$. Таким образом, мы получаем:

$(x^2 + 3)^2 - x^2$

Это выражение является разностью квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 3$ и $b = x$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 + 3) - x)((x^2 + 3) + x)$

Запишем полученные многочлены в стандартном виде:

$(x^2 - x + 3)(x^2 + x + 3)$

Ответ: $(x^2 - x + 3)(x^2 + x + 3)$

2)

Для разложения на множители выражения $x^4 - 8x^2 + 4$ также применим метод выделения полного квадрата.

Первый член выражения $x^4 = (x^2)^2$, а последний член $4 = 2^2$. Для полного квадрата нам необходимо удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot 2 = 4x^2$. Мы можем получить либо $(x^2+2)^2=x^4+4x^2+4$, либо $(x^2-2)^2=x^4-4x^2+4$. Выберем второй вариант, так как он ближе к нашему среднему члену $-8x^2$.

Представим $-8x^2$ как $-4x^2 - 4x^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$x^4 - 8x^2 + 4 = x^4 - 4x^2 - 4x^2 + 4$

Сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:

$(x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2$

Выражение в скобках является квадратом разности $(x^2 - 2)^2$. Получаем:

$(x^2 - 2)^2 - 4x^2$

Второе слагаемое $4x^2$ также является полным квадратом: $(2x)^2$. Таким образом, мы получили разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = x^2 - 2$ и $b = 2x$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 - 2) - 2x)((x^2 - 2) + 2x)$

Запишем многочлены в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

Ответ: $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$