Номер 739, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 739, страница 127.

Условие.

739. Разложите на множители:

1) $x^4 - 5x^2 + 4;$

2) $x^4 + x^2 + 1;$

3) $4x^4 - 12x^2 + 1;$

4) $x^5 + x + 1;$

5) $x^4 + 4;$

6) $x^8 + x^4 - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^4 - 5x^2 + 4$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид:

$y^2 - 5y + 4$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители:

$(y - 1)(y - 4)$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Оба множителя являются разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

2) $x^4 + x^2 + 1$

Используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x^2 + 1)^2$. Получаем:

$(x^2 + 1)^2 - x^2$

Это разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$

Перегруппируем слагаемые в скобках:

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

3) $4x^4 - 12x^2 + 1$

Используем метод выделения полного квадрата. Представим $4x^4$ как $(2x^2)^2$. Чтобы получить полный квадрат, мы можем добавить и вычесть $4x^2$ или $16x^2$. Рассмотрим вариант с добавлением и вычитанием $16x^2$:

$4x^4 - 12x^2 + 1 = (4x^4 + 4x^2 + 1) - 16x^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(2x^2 + 1)^2$. Получаем:

$(2x^2 + 1)^2 - 16x^2$

Это разность квадратов, так как $16x^2 = (4x)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x^2 + 1$ и $b = 4x$:

$((2x^2 + 1) - 4x)((2x^2 + 1) + 4x)$

Перегруппируем слагаемые:

$(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(2x^2 - 4x + 1)(2x^2 + 4x + 1)$

4) $x^5 + x + 1$

Для разложения этого многочлена добавим и вычтем $x^2$:

$x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$

В первой группе вынесем $x^2$ за скобки:

$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к выражению $x^3 - 1$:

$x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 + x + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 + x + 1)(x^2(x - 1) + 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

Ответ: $(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

5) $x^4 + 4$

Это выражение можно разложить, дополнив его до полного квадрата. Для этого добавим и вычтем $4x^2$:

$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^2 + 2)^2$. Получаем:

$(x^2 + 2)^2 - 4x^2$

Это разность квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + 2$ и $b = 2x$:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$

Перегруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

6) $x^8 + x^4 - 2$

Это выражение похоже на биквадратное. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^4$. Тогда выражение примет вид:

$y^2 + y - 2$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. Корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$ равны $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Следовательно, $y^2 + y - 2 = (y - 1)(y + 2)$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^4$:

$(x^4 - 1)(x^4 + 2)$

Первый множитель $x^4 - 1$ является разностью квадратов:

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

Множитель $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Собираем все вместе:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

Множители $x^2+1$ и $x^4+2$ не разлагаются на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$