Номер 733, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 733, страница 126.

Условие.

733. Представьте в виде произведения выражения:

1) $(5x - y^2)(5x + y^2) - 2(15x - 7y^2) - 40;$

2) $(3m - 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) - 2(3n^2 - 20n + 12).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(5x - y^2)(5x + y^2) - 2(15x - 7y^2) - 40$

Для того чтобы представить выражение в виде произведения, сначала раскроем скобки и упростим его.
Первый член $(5x - y^2)(5x + y^2)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(5x - y^2)(5x + y^2) = (5x)^2 - (y^2)^2 = 25x^2 - y^4$.
Далее раскроем вторую скобку:
$-2(15x - 7y^2) = -30x + 14y^2$.
Соберём всё выражение вместе:
$25x^2 - y^4 - 30x + 14y^2 - 40$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:
$(25x^2 - 30x) + (-y^4 + 14y^2) - 40 = (25x^2 - 30x) - (y^4 - 14y^2) - 40$.

Теперь применим метод выделения полного квадрата для каждой группы.
Для группы с $x$:
$25x^2 - 30x = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат $(5x-3)^2$, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$.
$(25x^2 - 30x + 9) - 9 = (5x-3)^2 - 9$.
Для группы с $y$:
$y^4 - 14y^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат $(y^2-7)^2$, нужно добавить и вычесть $7^2 = 49$.
$(y^4 - 14y^2 + 49) - 49 = (y^2-7)^2 - 49$.

Подставим полученные выражения обратно:
$((5x-3)^2 - 9) - ((y^2-7)^2 - 49) - 40$
$= (5x-3)^2 - 9 - (y^2-7)^2 + 49 - 40$
Соберём числовые слагаемые: $-9 + 49 - 40 = 0$.
Выражение принимает вид:
$(5x-3)^2 - (y^2-7)^2$.

Это разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 5x-3$ и $b = y^2-7$.
$((5x-3) - (y^2-7)) \cdot ((5x-3) + (y^2-7))$
$= (5x - 3 - y^2 + 7)(5x - 3 + y^2 - 7)$
$= (5x - y^2 + 4)(5x + y^2 - 10)$.

Ответ: $(5x - y^2 + 4)(5x + y^2 - 10)$.

2) $(3m - 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) - 2(3n^2 - 20n + 12)$

Сначала раскроем все скобки в выражении и приведём подобные слагаемые.
$(3m - 2n)(12m + 5n) = 3m \cdot 12m + 3m \cdot 5n - 2n \cdot 12m - 2n \cdot 5n = 36m^2 + 15mn - 24mn - 10n^2 = 36m^2 - 9mn - 10n^2$.
$3m(3n + 4) = 9mn + 12m$.
$-2(3n^2 - 20n + 12) = -6n^2 + 40n - 24$.

Теперь сложим все полученные части:
$(36m^2 - 9mn - 10n^2) + (9mn + 12m) + (-6n^2 + 40n - 24)$
$= 36m^2 - 9mn - 10n^2 + 9mn + 12m - 6n^2 + 40n - 24$.
Упростим, сгруппировав подобные члены:
$36m^2 + 12m - 16n^2 + 40n - 24$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $m$ и с переменной $n$:
$(36m^2 + 12m) + (-16n^2 + 40n) - 24 = (36m^2 + 12m) - (16n^2 - 40n) - 24$.

Выделим полные квадраты для каждой группы.
Для группы с $m$:
$36m^2 + 12m = (6m)^2 + 2 \cdot (6m) \cdot 1$. Добавим и вычтем $1^2=1$.
$(36m^2 + 12m + 1) - 1 = (6m+1)^2 - 1$.
Для группы с $n$:
$16n^2 - 40n = (4n)^2 - 2 \cdot (4n) \cdot 5$. Добавим и вычтем $5^2=25$.
$(16n^2 - 40n + 25) - 25 = (4n-5)^2 - 25$.

Подставим эти результаты в упрощённое выражение:
$((6m+1)^2 - 1) - ((4n-5)^2 - 25) - 24$
$= (6m+1)^2 - 1 - (4n-5)^2 + 25 - 24$.
Сложим числовые слагаемые: $-1 + 25 - 24 = 0$.
Получаем: $(6m+1)^2 - (4n-5)^2$.

Это разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 6m+1$ и $b = 4n-5$.
$((6m+1) - (4n-5)) \cdot ((6m+1) + (4n-5))$
$= (6m + 1 - 4n + 5)(6m + 1 + 4n - 5)$
$= (6m - 4n + 6)(6m + 4n - 4)$.

В каждой скобке можно вынести общий числовой множитель:
Из первой скобки $(6m - 4n + 6)$ выносим 2: $2(3m - 2n + 3)$.
Из второй скобки $(6m + 4n - 4)$ выносим 2: $2(3m + 2n - 2)$.
Перемножим эти множители:
$2(3m - 2n + 3) \cdot 2(3m + 2n - 2) = 4(3m - 2n + 3)(3m + 2n - 2)$.

Ответ: $4(3m - 2n + 3)(3m + 2n - 2)$.