Номер 728, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 728, страница 126.

Условие.

728. Докажите тождество:

1) $(a+2)^3 - 25(a+2) = (a+2)(a+7)(a-3);$

2) $a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Докажем тождество $(a + 2)^3 - 25(a + 2) = (a + 2)(a + 7)(a - 3)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Первым шагом вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки:

$(a + 2)^3 - 25(a + 2) = (a + 2)((a + 2)^2 - 25)$

Выражение во второй скобке, $((a + 2)^2 - 25)$, является разностью квадратов, поскольку $25 = 5^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где в нашем случае $x = (a + 2)$ и $y = 5$.

$(a + 2)((a + 2)^2 - 5^2) = (a + 2)((a + 2) - 5)((a + 2) + 5)$

Теперь упростим выражения в последних двух скобках:

$(a + 2 - 5) = (a - 3)$

$(a + 2 + 5) = (a + 7)$

Подставим полученные выражения обратно в наше равенство:

$(a + 2)(a - 3)(a + 7)$

Для полного соответствия с правой частью исходного тождества, поменяем местами второй и третий множители:

$(a + 2)(a + 7)(a - 3)$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2 = (a + b + c - d)(a + b - c + d)$.

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить формулы сокращенного умножения:

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 - 2cd + d^2)$

Выражения в скобках представляют собой полные квадраты. Первое выражение - квадрат суммы, второе - квадрат разности. Применим формулы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^2$

$(c^2 - 2cd + d^2) = (c - d)^2$

Подставим эти квадраты в наше выражение:

$(a + b)^2 - (c - d)^2$

Полученное выражение является разностью квадратов. Снова применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где на этот раз $x = (a + b)$ и $y = (c - d)$.

$((a + b) - (c - d))((a + b) + (c - d))$

Раскроем внутренние скобки в каждом множителе:

$(a + b - c + d)(a + b + c - d)$

Поменяем множители местами, чтобы привести выражение к виду правой части исходного равенства:

$(a + b + c - d)(a + b - c + d)$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.