Номер 727, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 727, страница 126.

Условие.

727. Является ли тождеством равенство:

1) $(a - 1)^3 - 9(a - 1) = (a - 1)(a - 4)(a + 2);$

2) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Для проверки, является ли равенство $(a - 1)^3 - 9(a - 1) = (a - 1)(a - 4)(a + 2)$ тождеством, преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:
$(a - 1)^3 - 9(a - 1) = (a - 1)((a - 1)^2 - 9)$
Выражение во вторых скобках $((a - 1)^2 - 9)$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a - 1)((a - 1)^2 - 3^2) = (a - 1)((a - 1) - 3)((a - 1) + 3)$
Упростим выражения в последних двух скобках:
$(a - 1)(a - 1 - 3)(a - 1 + 3) = (a - 1)(a - 4)(a + 2)$
В результате преобразования левая часть равенства стала идентична правой части. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, является.

2)

Проверим, является ли равенство $(x^2 + 1)^2 - 4x^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$ тождеством. Преобразуем левую часть. Представим $4x^2$ как $(2x)^2$. Тогда левая часть представляет собой разность квадратов:
$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x^2 + 1) - 2x)((x^2 + 1) + 2x)$
Переставим слагаемые в скобках, чтобы получить стандартный вид квадратных трехчленов:
$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$
Каждое из этих выражений является полным квадратом. Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x^2 - 2x + 1) = (x - 1)^2$
$(x^2 + 2x + 1) = (x + 1)^2$
Таким образом, левая часть равна:
$(x - 1)^2(x + 1)^2$
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, является.