Номер 720, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 720, страница 125.

Условие.

720. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(m^2 - 2m)^2 - 1;$

2) $16 - (m^2 + 4m)^2;$

3) $x^2 - 18xy + 81y^2 - z^2;$

4) $64x^2 + 48xy + 9y^2 - 144;$

5) $c^2 - a^2 + 22a - 121;$

6) $100 - 25y^2 - 60x^2y - 36x^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(m^2 - 2m)^2 - 1$

Данное выражение представляет собой разность квадратов, так как $1 = 1^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = m^2 - 2m$ и $b = 1$.

$(m^2 - 2m)^2 - 1^2 = ((m^2 - 2m) - 1)((m^2 - 2m) + 1) = (m^2 - 2m - 1)(m^2 - 2m + 1)$.

Выражение во второй скобке, $m^2 - 2m + 1$, является полным квадратом разности: $(m - 1)^2$.

Первое выражение, $m^2 - 2m - 1$, не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение на множители:

$(m^2 - 2m - 1)(m - 1)^2$.

Ответ: $(m^2 - 2m - 1)(m - 1)^2$.

2) $16 - (m^2 + 4m)^2$

Это выражение также является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4$ и $b = m^2 + 4m$.

$4^2 - (m^2 + 4m)^2 = (4 - (m^2 + 4m))(4 + (m^2 + 4m)) = (4 - m^2 - 4m)(4 + m^2 + 4m)$.

Выражение во второй скобке, $m^2 + 4m + 4$, является полным квадратом суммы: $(m + 2)^2$.

Выражение в первой скобке, $4 - m^2 - 4m$, можно оставить в таком виде.

Окончательный вид произведения:

$(4 - m^2 - 4m)(m + 2)^2$.

Ответ: $(4 - m^2 - 4m)(m + 2)^2$.

3) $x^2 - 18xy + 81y^2 - z^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат разности.

$(x^2 - 18xy + 81y^2) - z^2 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 9y + (9y)^2) - z^2 = (x - 9y)^2 - z^2$.

Теперь мы получили разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x - 9y$ и $b = z$.

$(x - 9y)^2 - z^2 = ((x - 9y) - z)((x - 9y) + z) = (x - 9y - z)(x - 9y + z)$.

Ответ: $(x - 9y - z)(x - 9y + z)$.

4) $64x^2 + 48xy + 9y^2 - 144$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат суммы.

$(64x^2 + 48xy + 9y^2) - 144 = ((8x)^2 + 2 \cdot 8x \cdot 3y + (3y)^2) - 144 = (8x + 3y)^2 - 144$.

Представим $144$ как $12^2$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 8x + 3y$ и $b = 12$.

$(8x + 3y)^2 - 12^2 = ((8x + 3y) - 12)((8x + 3y) + 12) = (8x + 3y - 12)(8x + 3y + 12)$.

Ответ: $(8x + 3y - 12)(8x + 3y + 12)$.

5) $c^2 - a^2 + 22a - 121$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобку.

$c^2 - (a^2 - 22a + 121)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности.

$a^2 - 22a + 121 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 11 + 11^2 = (a - 11)^2$.

Исходное выражение принимает вид $c^2 - (a - 11)^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = c$ и $y = a - 11$.

$c^2 - (a - 11)^2 = (c - (a - 11))(c + (a - 11)) = (c - a + 11)(c + a - 11)$.

Ответ: $(c - a + 11)(c + a - 11)$.

6) $100 - 25y^2 - 60x^2y - 36x^4$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобку.

$100 - (25y^2 + 60x^2y + 36x^4)$.

Выражение в скобках является полным квадратом суммы.

$25y^2 + 60x^2y + 36x^4 = (5y)^2 + 2 \cdot 5y \cdot 6x^2 + (6x^2)^2 = (5y + 6x^2)^2$.

Исходное выражение принимает вид $100 - (5y + 6x^2)^2$.

Представим $100$ как $10^2$ и получим разность квадратов.

$10^2 - (5y + 6x^2)^2$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 10$ и $b = 5y + 6x^2$.

$(10 - (5y + 6x^2))(10 + (5y + 6x^2)) = (10 - 5y - 6x^2)(10 + 5y + 6x^2)$.

Ответ: $(10 - 5y - 6x^2)(10 + 5y + 6x^2)$.