Номер 724, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 724, страница 125.

Условие.

724. Представьте в виде произведения выражение:

1) $x^2(x+4) - 20x(x+4) + 100(x+4)$;

2) $a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2)$;

3) $a^2(b-1) - b^2(a-1)$;

4) $(m-n)(n^3-p^3) - (n-p)(m^3-n^3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2(x + 4) - 20x(x + 4) + 100(x + 4)$.
Вынесем общий множитель $(x+4)$ за скобки:
$(x + 4)(x^2 - 20x + 100)$.
Выражение во второй скобке $x^2 - 20x + 100$ является полным квадратом разности, который можно представить по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 10$. Проверим: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 - 20x + 100$.
Таким образом, выражение можно записать как:
$(x + 4)(x - 10)^2$.
Ответ: $(x + 4)(x - 10)^2$.

2) $a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2)$.
Представим первые два слагаемых в виде $a^2 - 36 = -(36 - a^2)$.
Выражение примет вид: $-(36 - a^2) - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2)$.
Вынесем общий множитель $(36 - a^2)$ за скобки:
$(36 - a^2)(-1 - 2a - a^2)$.
Вынесем знак минус из второй скобки: $-(36 - a^2)(1 + 2a + a^2)$.
Разложим каждый из множителей в скобках. Первый множитель $36 - a^2$ — это разность квадратов: $(6 - a)(6 + a)$.
Второй множитель $1 + 2a + a^2$ — это полный квадрат суммы: $(1 + a)^2$.
Подставим разложения в выражение:
$-(6 - a)(6 + a)(1 + a)^2$.
Ответ: $-(6 - a)(6 + a)(1 + a)^2$.

3) $a^2(b - 1) - b^2(a - 1)$.
Раскроем скобки:
$a^2b - a^2 - ab^2 + b^2$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^2b - ab^2) + (b^2 - a^2)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $ab$, а вторую группу разложим по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$ab(a - b) + (b - a)(b + a)$.
Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$, поэтому выражение можно переписать так:
$ab(a - b) - (a - b)(a + b)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(ab - (a + b)) = (a - b)(ab - a - b)$.
Ответ: $(a - b)(ab - a - b)$.

4) $(m - n)(n^3 - p^3) - (n - p)(m^3 - n^3)$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к выражениям в скобках:
$n^3 - p^3 = (n - p)(n^2 + np + p^2)$
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$(m - n)(n - p)(n^2 + np + p^2) - (n - p)(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Вынесем общий множитель $(m - n)(n - p)$ за скобки:
$(m - n)(n - p)[(n^2 + np + p^2) - (m^2 + mn + n^2)]$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$n^2 + np + p^2 - m^2 - mn - n^2 = p^2 - m^2 + np - mn$.
Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:
$(p^2 - m^2) + (np - mn) = (p - m)(p + m) + n(p - m)$.
Вынесем общий множитель $(p - m)$:
$(p - m)(p + m + n)$.
Объединим все множители:
$(m - n)(n - p)(p - m)(m + n + p)$.
Ответ: $(m - n)(n - p)(p - m)(m + n + p)$.