Номер 717, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 717, страница 124.

Условие.

717. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $3ab + 15b - 3a - 15;$

2) $84 - 42y - 7xy + 14x;$

3) $abc + 6ac + 8ab + 48a;$

4) $m^3 - m^2n + m^2 - mn;$

5) $a^3 + a^2 - a - 1;$

6) $2x^3 - 2xy^2 - 8x^2 + 8y^2;$

7) $5a^2 - 5b^2 - 15a^3b + 15ab^3;$

8) $a^2b^2 - 1 - b^2 + a^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $3ab + 15b - 3a - 15$

Сгруппируем члены многочлена: $(3ab + 15b) - (3a + 15)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $3b(a + 5) - 3(a + 5)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + 5)$: $(a + 5)(3b - 3)$.

Из второй скобки вынесем общий множитель 3: $3(a + 5)(b - 1)$.

Ответ: $3(a + 5)(b - 1)$.

2) $84 - 42y - 7xy + 14x$

Сгруппируем члены многочлена: $(84 - 42y) + (14x - 7xy)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $42(2 - y) + 7x(2 - y)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2 - y)$: $(2 - y)(42 + 7x)$.

Из второй скобки вынесем общий множитель 7: $7(2 - y)(6 + x)$.

Ответ: $7(x + 6)(2 - y)$.

3) $abc + 6ac + 8ab + 48a$

Вынесем за скобки общий множитель $a$: $a(bc + 6c + 8b + 48)$.

Сгруппируем члены в скобках: $a((bc + 6c) + (8b + 48))$.

Вынесем общие множители из каждой группы в скобках: $a(c(b + 6) + 8(b + 6))$.

Вынесем за скобки общий множитель $(b + 6)$: $a(b + 6)(c + 8)$.

Ответ: $a(b + 6)(c + 8)$.

4) $m^3 - m^2n + m^2 - mn$

Сгруппируем члены многочлена: $(m^3 - m^2n) + (m^2 - mn)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $m^2(m - n) + m(m - n)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m - n)$: $(m - n)(m^2 + m)$.

Из второй скобки вынесем общий множитель $m$: $m(m + 1)(m - n)$.

Ответ: $m(m + 1)(m - n)$.

5) $a^3 + a^2 - a - 1$

Сгруппируем члены многочлена: $(a^3 + a^2) - (a + 1)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $a^2(a + 1) - 1(a + 1)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + 1)$: $(a + 1)(a^2 - 1)$.

Второй множитель является разностью квадратов, разложим его по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $(a + 1)(a - 1)(a + 1)$.

Запишем в более компактном виде: $(a - 1)(a + 1)^2$.

Ответ: $(a - 1)(a + 1)^2$.

6) $2x^3 - 2xy^2 - 8x^2 + 8y^2$

Вынесем за скобки общий множитель 2: $2(x^3 - xy^2 - 4x^2 + 4y^2)$.

Сгруппируем члены в скобках: $2((x^3 - 4x^2) - (xy^2 - 4y^2))$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $2(x^2(x - 4) - y^2(x - 4))$.

Вынесем за скобки общий множитель $(x - 4)$: $2(x - 4)(x^2 - y^2)$.

Второй множитель является разностью квадратов, разложим его по формуле: $2(x - 4)(x - y)(x + y)$.

Ответ: $2(x - 4)(x - y)(x + y)$.

7) $5a^2 - 5b^2 - 15a^3b + 15ab^3$

Сгруппируем члены многочлена: $(5a^2 - 5b^2) - (15a^3b - 15ab^3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $5(a^2 - b^2) - 15ab(a^2 - b^2)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(a^2 - b^2)$: $(a^2 - b^2)(5 - 15ab)$.

Из второй скобки вынесем общий множитель 5: $5(a^2 - b^2)(1 - 3ab)$.

Первый множитель является разностью квадратов, разложим его по формуле: $5(a - b)(a + b)(1 - 3ab)$.

Ответ: $5(a - b)(a + b)(1 - 3ab)$.

8) $a^2b^2 - 1 - b^2 + a^2$

Переставим члены для удобства группировки: $a^2b^2 + a^2 - b^2 - 1$.

Сгруппируем: $(a^2b^2 + a^2) - (b^2 + 1)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $a^2(b^2 + 1) - 1(b^2 + 1)$.

Вынесем за скобки общий множитель $(b^2 + 1)$: $(b^2 + 1)(a^2 - 1)$.

Второй множитель является разностью квадратов, разложим его по формуле: $(b^2 + 1)(a - 1)(a + 1)$.

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(b^2 + 1)$.