Номер 712, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 712, страница 124.

Условие.

712. Разложите на множители:

1) $x^4 - 16$;

2) $y^8 - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 - 16$, мы воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$

Теперь применим формулу, где $a = x^2$ и $b = 4$:

$(x^2 - 4)(x^2 + 4)$

Выражение $x^2 - 4$ в первой скобке также является разностью квадратов, так как $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$. Применим формулу еще раз, где $a = x$ и $b = 2$:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Выражение $x^2 + 4$ во второй скобке является суммой квадратов и не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Объединим полученные результаты:

$x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

2) Для разложения выражения $y^8 - 1$ мы будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $y^8 - 1$ как разность квадратов. Заметим, что $y^8 = (y^4)^2$ и $1 = 1^2$.

$y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$

Теперь рассмотрим множитель $y^4 - 1$. Его также можно разложить как разность квадратов, так как $y^4 = (y^2)^2$:

$y^4 - 1 = (y^2)^2 - 1^2 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$

Продолжим разложение. Множитель $y^2 - 1$ снова является разностью квадратов:

$y^2 - 1 = y^2 - 1^2 = (y - 1)(y + 1)$

Множители $y^2 + 1$ и $y^4 + 1$ являются суммами квадратов и не раскладываются на множители с целыми коэффициентами.

Теперь соберем все полученные множители вместе:

$y^8 - 1 = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$

Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.