Номер 706, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 706, страница 121.

Условие.

706. Есть 100 кучек по 100 монет. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на 1 г легче настоящей. Масса настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать, чтобы найти кучку из фальшивых монет?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы найти кучку с фальшивыми монетами за наименьшее количество взвешиваний, достаточно всего одного взвешивания. Для этого необходимо применить следующий алгоритм:

1. Пронумеруем все 100 кучек монет числами от 1 до 100.
2. Возьмем из кучки №1 одну монету, из кучки №2 — две монеты, из кучки №3 — три монеты, и так далее, до кучки №100, из которой возьмем 100 монет.
3. Сложим все отобранные монеты вместе и взвесим их за один раз на пружинных весах.

Теперь проанализируем результат, который мы получим.

Сначала рассчитаем, какой была бы общая масса, если бы все монеты были настоящими. Общее количество монет, которые мы взяли для взвешивания, равно сумме арифметической прогрессии:

$S = 1 + 2 + 3 + ... + 100$

По формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$:

$S_{100} = \frac{100 \cdot (100+1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$ монет.

Масса одной настоящей монеты составляет 10 г. Следовательно, ожидаемая (эталонная) масса всех взятых монет, если бы они были настоящими, составляет:

$M_{эталон} = 5050 \text{ монет} \times 10 \text{ г/монета} = 50500 \text{ г}$.

По условию, в одной из кучек все монеты фальшивые, и каждая из них на 1 г легче настоящей. Это значит, что масса фальшивой монеты равна $10 - 1 = 9$ г.

Пусть кучка с фальшивыми монетами имеет номер $k$. Согласно нашему алгоритму, мы взяли из этой кучки ровно $k$ монет. Это означает, что в нашей общей пробе из 5050 монет ровно $k$ монет являются фальшивыми, а остальные — настоящими. Каждая из этих $k$ фальшивых монет на 1 г легче настоящей, поэтому общая фактическая масса $M_{факт}$ будет на $k$ граммов меньше эталонной массы.

$M_{факт} = M_{эталон} - k \times 1 \text{ г} = 50500 - k \text{ г}$.

Таким образом, чтобы найти номер кучки с фальшивыми монетами, нужно измерить фактическую массу $M_{факт}$ и вычислить разницу с эталонной массой:

$k = M_{эталон} - M_{факт} = 50500 - M_{факт}$.

Например:

• Если весы покажут 50499 г, то разница составит $50500 - 50499 = 1$ г. Значит, фальшивая кучка — №1.
• Если весы покажут 50498 г, то разница составит $50500 - 50498 = 2$ г. Значит, фальшивая кучка — №2.
• Если весы покажут 50400 г, то разница составит $50500 - 50400 = 100$ г. Значит, фальшивая кучка — №100.

Так как каждому возможному значению недостачи массы (от 1 до 100 г) соответствует уникальный номер кучки, мы гарантированно определяем искомую кучку за одно взвешивание. Очевидно, что без взвешиваний задачу решить невозможно, поэтому одно взвешивание и является наименьшим необходимым количеством.

Ответ: 1 взвешивание.