Номер 709, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 709, страница 124.

Условие.

709. Разложите на множители:

1) $3a^2 + 6ab + 3b^2$;

2) $5m^2 + 5n^2 - 10mn$;

3) $-3x^2 + 12x - 12$;

4) $-7b^2 - 14bc - 7c^2$;

5) $x^2y + 14xy^2 + 49y^3$;

6) $-8a^3b + 56a^2b^2 - 98ab^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $3a^2 + 6ab + 3b^2$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Для коэффициентов 3, 6 и 3 общим множителем является 3.

$3a^2 + 6ab + 3b^2 = 3(a^2 + 2ab + b^2)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 + 2ab + b^2$. Это выражение является полным квадратом суммы, которое соответствует формуле сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=b$, поэтому $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Подставив это обратно в наше выражение, получаем окончательный результат.

Ответ: $3(a+b)^2$

2) $5m^2 + 5n^2 - 10mn$

Для удобства сгруппируем члены многочлена в привычном порядке: $5m^2 - 10mn + 5n^2$.

Вынесем общий числовой множитель 5 за скобки:

$5(m^2 - 2mn + n^2)$

Выражение в скобках $m^2 - 2mn + n^2$ является полным квадратом разности, который соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x=m$ и $y=n$, следовательно, $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$.

Таким образом, итоговое разложение имеет вид:

Ответ: $5(m-n)^2$

3) $-3x^2 + 12x - 12$

Вынесем общий множитель -3 за скобки. При вынесении отрицательного множителя знаки всех членов в скобках меняются на противоположные.

$-3(x^2 - 4x + 4)$

Рассмотрим выражение в скобках $x^2 - 4x + 4$. Оно соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Всё совпадает.

Значит, $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Окончательный результат:

Ответ: $-3(x-2)^2$

4) $-7b^2 - 14bc - 7c^2$

Вынесем общий множитель -7 за скобки:

$-7(b^2 + 2bc + c^2)$

Выражение в скобках $b^2 + 2bc + c^2$ является полным квадратом суммы $(b+c)^2$.

Следовательно, получаем следующее разложение:

Ответ: $-7(b+c)^2$

5) $x^2y + 14xy^2 + 49y^3$

Сначала вынесем общий множитель за скобки. Все члены многочлена содержат переменную $y$, наименьшая степень которой равна 1. Значит, общим множителем является $y$.

$y(x^2 + 14xy + 49y^2)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках: $x^2 + 14xy + 49y^2$. Это полный квадрат суммы вида $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2=x^2 \Rightarrow a=x$, и $b^2=49y^2 \Rightarrow b=7y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot (7y) = 14xy$. Оно совпадает со средним членом.

Таким образом, $x^2 + 14xy + 49y^2 = (x+7y)^2$.

Итоговое разложение:

Ответ: $y(x+7y)^2$

6) $-8a^3b + 56a^2b^2 - 98ab^3$

Найдем общий множитель для всех членов. Наибольший общий делитель для коэффициентов 8, 56, 98 равен 2. Все члены содержат переменные $a$ и $b$. Наименьшая степень $a$ - первая ($a^1$), наименьшая степень $b$ - тоже первая ($b^1$). Так как первый коэффициент отрицательный, вынесем за скобки $-2ab$.

$-2ab(4a^2 - 28ab + 49b^2)$

Рассмотрим выражение в скобках $4a^2 - 28ab + 49b^2$. Это полный квадрат разности вида $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x^2=4a^2 \Rightarrow x=2a$, и $y^2=49b^2 \Rightarrow y=7b$. Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot (2a) \cdot (7b) = 28ab$. Оно совпадает со средним членом по модулю.

Следовательно, $4a^2 - 28ab + 49b^2 = (2a-7b)^2$.

Окончательный результат разложения:

Ответ: $-2ab(2a-7b)^2$