Номер 705, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 705, страница 121.

Условие.

705. Решите уравнение:

1) $(x - 4)(x + 3) = 0;$

2) $x^2 - 81 = 0;$

3) $7x^2 + 21x = 0;$

4) $9x^2 - 6x + 1 = 0;$

5) $x (x + 7)(3x - 2) = 0;$

6) $12x^3 - 2x^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x - 4)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждую скобку к нулю:

$x - 4 = 0$ или $x + 3 = 0$

Решая первое уравнение, получаем:

$x_1 = 4$

Решая второе уравнение, получаем:

$x_2 = -3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-3; 4$.

2) $x^2 - 81 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 81$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным.

$x = \pm\sqrt{81}$

$x_1 = 9$, $x_2 = -9$

Ответ: $-9; 9$.

3) $7x^2 + 21x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:

$7x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$7x = 0$ или $x + 3 = 0$

Из первого уравнения находим:

$x_1 = 0$

Из второго уравнения находим:

$x_2 = -3$

Ответ: $-3; 0$.

4) $9x^2 - 6x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 9x^2 \Rightarrow a=3x$, и $b^2 = 1 \Rightarrow b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x$.

Таким образом, уравнение можно свернуть:

$(3x - 1)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю:

$3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) $x(x + 7)(3x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 7 = 0$ или $3x - 2 = 0$

Первый корень уже найден: $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем: $x_2 = -7$.

Из третьего уравнения получаем:

$3x = 2$

$x_3 = \frac{2}{3}$

Ответ: $-7; 0; \frac{2}{3}$.

6) $12x^3 - 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:

$2x^2(6x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x^2 = 0$ или $6x - 1 = 0$

Из первого уравнения получаем:

$x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

Из второго уравнения получаем:

$6x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{6}$

Ответ: $0; \frac{1}{6}$.