Номер 703, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 703, страница 121.

Условие.

703. Найдите значение каждого из следующих выражений при $a = 1$ и $a = -1$:

1) $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{99} + a^{100}$,

2) $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{98} + a^{99}$;

3) $a a^2 a^3 a^4 \dots a^{99} a^{100}$,

4) $a a^2 a^3 a^4 \dots a^{98} a^{99}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Найдем значения выражений при $a = 1$:

1) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{99} + a^{100}$

При $a = 1$ каждое слагаемое в сумме равно $1^n = 1$. Сумма состоит из 100 слагаемых (от 1-й до 100-й степени), поэтому выражение равно сумме ста единиц.

$1 + 1 + ... + 1 \text{ (100 раз)} = 100 \cdot 1 = 100$.

Ответ: 100

2) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{98} + a^{99}$

Аналогично предыдущему пункту, при $a = 1$ каждое слагаемое равно 1. Сумма состоит из 99 слагаемых (от 1-й до 99-й степени).

$1 + 1 + ... + 1 \text{ (99 раз)} = 99 \cdot 1 = 99$.

Ответ: 99

3) $aa^2a^3a^4 ... a^{99}a^{100}$

При $a = 1$ каждый множитель равен 1. Произведение любого количества единиц равно 1.

Также можно воспользоваться свойством степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a \cdot a^2 \cdot ... \cdot a^{100} = a^{1+2+...+100}$.

При $a=1$ выражение равно $1^{1+2+...+100} = 1$.

Ответ: 1

4) $aa^2a^3a^4 ... a^{98}a^{99}$

При $a = 1$ каждый множитель равен 1, поэтому произведение равно 1.

Или $a \cdot a^2 \cdot ... \cdot a^{99} = a^{1+2+...+99}$.

При $a=1$ выражение равно $1^{1+2+...+99} = 1$.

Ответ: 1

Найдем значения выражений при $a = -1$:

1) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{99} + a^{100}$

При $a = -1$ значение степени $a^n$ равно $-1$, если $n$ нечетное, и $1$, если $n$ четное.

Выражение принимает вид: $(-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + ... + (-1)^{99} + (-1)^{100} = -1 + 1 - 1 + ... - 1 + 1$.

В сумме 100 слагаемых, которые можно разбить на 50 пар вида $(-1+1)$. Сумма каждой пары равна 0.

$(-1+1) + (-1+1) + ... + (-1+1) = 50 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

2) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{98} + a^{99}$

Выражение принимает вид: $(-1)^1 + (-1)^2 + ... + (-1)^{98} + (-1)^{99} = -1 + 1 - ... + 1 - 1$.

В сумме 99 слагаемых. Первые 98 слагаемых можно разбить на 49 пар $(-1+1)$, сумма которых равна 0. Остается последнее слагаемое.

Сумма равна $0 + (-1)^{99} = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1

3) $aa^2a^3a^4 ... a^{99}a^{100}$

Упростим выражение, сложив показатели степеней: $a^{1+2+3+...+100}$.

Сумма показателей является суммой арифметической прогрессии: $S_{100} = \frac{1+100}{2} \cdot 100 = 5050$.

Выражение равно $a^{5050}$. Подставим $a = -1$: $(-1)^{5050}$.

Так как показатель 5050 — четное число, результат равен 1.

Ответ: 1

4) $aa^2a^3a^4 ... a^{98}a^{99}$

Упростим выражение: $a^{1+2+3+...+99}$.

Найдем сумму показателей: $S_{99} = \frac{1+99}{2} \cdot 99 = 4950$.

Выражение равно $a^{4950}$. Подставим $a = -1$: $(-1)^{4950}$.

Так как показатель 4950 — четное число, результат равен 1.

Ответ: 1